das Aussterben der Brüche

"Die Dinosaurier wer'n immer trauriger 
Die armen Saurier, die armen Saurier."

Man muss sich immer - also allemal auch beim hier vorliegenden Thema - vor einer gewissen Nostalgie hüten, die

(was allerdings vielleicht sogar - kurzfristig? - seelisch gesund ist)

die negativen Erlebnisse ausblendet oder ins Positive umdeutet.

(Ein Beispiel: wahrhaft nichts gegen das Fach Latein, aber es gibt doch eine reaktionäre bildungsbürgerliche Attitüde, die den schrecklichen Erlebnisse im eigenen ehemaligen Lateinunterricht doch noch dadurch Sinn abzuquetschen versucht, dass sie nun andauernd lateinische Floskeln absondert und das für [auch heute] unabdingbare "Bildung" hält:

• "Gallia est omnis divisa in partes tres, quarum unam incolunt Belgae, aliam Aquitani, tertiam qui ipsorum lingua Celtae, nostra Galli appellantur",

• "Ceterum censeo Carthaginem esse delendam!" = "im Übrigen bin ich der Meinung, dass Karthago ein zu Zerstörendes sei"

(was Cato ja nur gesagt hat, um wenigstens in Grammatiklehrbüchern zu überleben :-)

• oder - wenn sie´s doch mal befolgen würden - "si tacuisses, philosophus mansisses.")

Also: Brüche sind (und waren) nicht bedeutsam, nur weil wir (die LehrerInnen) früher in unserer Schulzeit damit vollgestopft wurden.

Ich glaube allerdings durchaus, dass man derzeit ein Aussterben der Brüche diagnostizieren kann

(wobei es erstmal nebensächlich ist, ob einem das egal ist, man es schade findet oder es im Gegenteil sogar begrüßt).

Zumindest muss man nicht mehr mit ihnen rechnen können

(also die Bruchrechnungsregeln beherrschen),

denn inzwischen nehmen

(falls das Problem überhaupt noch auftaucht)

Taschenrechner einem das

(anders als noch "zu meiner Zeit")

auch schon ab:

Ja, mir kommt es fast vor, als wäre die Bruch-Taste

• nur noch deshalb auf dem Taschenrechner, weil die MathematiklehrerInnen

(sei´s aus Nostalgie, sei´s aus Gewohnheit oder gar Phantasielosigkeit ...)

halt noch immer Brüche durchnehmen,

• nicht aber, weil man sie wirklich braucht

(nur in diesem zweiten Fall wäre ja ein - höchst unwahrscheinlicher? - Stromausfall immerhin noch ein Argument dafür, dass SchülerInnen Brüche und Bruchrechnung auch ohne Taschenrechner und "zu Fuß" beherrschen müssten:

).

Die SchülerInnen durchschauen die Mogelpackung ja schnell - und benutzen nie wieder die

(manchmal viel einfachere und anschaulichere; vgl. etwa ¹/₇ = 0,142857; siehe auch )

Bruchrechnungstaste/-anzeige, sondern ausschließlich die Dezimalschreibweise.

Einer der wenigen Brüche, die sich wirklich noch gehalten haben, ist ³/₄, was man allein schon daran sehen kann, dass man ein "Dreiviertel" in einem Wort schreiben kann. Vgl. etwa im Duden:

• dreiviertellang,

• Dreiviertelliterflasche

• Dreiviertelmehrheit

• Dreiviertelmillion

• Dreiviertelstunde

• Dreivierteltakt.

Ansonsten gibt´s nur (wieder im Duden)

• Zweidrittelgesellschaft,

• Zweidrittelmehrheit.

_{(Nebenbei, wo wir grade bei den Zahlwörtern sind: es ist doch allemal bezeichnend, dass z.B.} ²/_{3 üblicherweise [also anders als bei den eben genannten Sonderfällen]  als "zwei Drittel" geschrieben wird, also "zwei" klein und "Drittel" groß: die Drittel sind die Nomen, also die "realen Dinge", die mit "zwei" nur noch abgezählt werden.
Wenn das kein guter Tipp für den Mathematikunterricht [auch bzgl. des Vorwissens der SchülerInnen] ist!)}

Also reichen die einfachsten Brüche mit den Nennern 2, 3 und 4 (also z.B. ¹/₂, ²/₃ oder ³/₄) im Alltagsleben allemal aus.

(Und Brüche, bei denen der Zähler größer als der Nenner ist [also z.B. ⁷/₄], kommen im "richtigen" Leben sowieso nicht vor, sondern wenn überhaupt, so spricht man da in sogenannten "gemischten Zahlen" [statt von ⁷/₄ also z.B. von 1 ³/₄; vgl. etwa: "der Kinofilm ist 1 ³/₄ Stunde lang"].)

Sieht man mal von Zeitangabe wie "halb zwölf", "viertel vor zwölf" oder - im Dialekt - "drei Viertel zwölfe" ab

(mit denen - nebenbei - nie gerechnet wird),

so kommen heutzutage Brüche in "freier Wildbahn" sowieso kaum mehr vor:

• als ich noch schön und jung und sowieso alles noch aus Holz war, sagte meine Mutter manchmal:

"kauf´ doch mal beim Metzger ¹/₈ [Pfund] Schinken".

Dabei interessiert mich hier nicht die Maßeinheit (Pfund), sondern die Bruchzahl ¹/₈ (Pfund) = 62,5 Gramm.

(Nebenbei: was waren das noch für glorreiche Zeiten, in denen man sich mehr als ¹/₈ Pfund Schinken

[der neben "echtem" Kaffee und "guter" Butter der Inbegriff von Luxus war]

auch gar nicht leisten konnte :-)

• Dementsprechend waren damals, als noch alles besser war

("Wir wollen unseren alten Kaiser Wilhelm wieder haben!" ),

auch die Kochrezepte, Messbecher und Gewichte von Waagen oft noch in Brüchen "verfasst", d.h. man verband mit Brüchen ganz handgreifliche Dinge!

• "die Jugend von heute" - so scheint mir - hat oftmals gar keine Vorstellung mehr von den simpelsten Brüchen.

(Eine kleine Anekdote am Rande: eine Schülerin [Leistungskurs Mathematik!] wollte zu ihrem 18. Geburtstag für Freunde einen Pudding zubereiten. Laut Rezept brauchte man dazu für je zwei Personen 250 Gramm irgendeiner Zutat, also z.B. Butter oder Margarine. Mit der Schülerin selbst waren abends acht Personen anwesend. Preisfrage: Wie viel von der Zutat brauchte man für acht Personen?
Die Schülerin sah sich nicht imstande, diese Aufgabe [Dreisatz!?] ohne Taschenrechner zu lösen - und selbst dafür brauchte sie ewig.
Dabei "löst" man diese Aufgabe am besten gar nicht - oder zumindest nicht rechnerisch, sondern 250 Gramm ist ein halbes Pfund bzw. ein viertel Kilogramm

bzw. -

also braucht man für acht Personen ein schnödes Kilogramm von der Zutat.)

• Heutzutage kauft man

  • entweder nach Gramm-Angaben

(also in Dezimalzahlen; wobei hinter den Gramm-Angaben [z.B. 250 g] allerdings oftmals noch die alten Brüche lauern [¹/2 Pfund])

• oder - im Zeitalter der Fertiggerichte - einfach nach Augenschein

_{(Packungsgröße)}.

• Überhaupt ist heutzutage alles "dezimalisiert" - bis auf zwei (interessante!, s.u.) Ausnahmen:

  • weder die "Digitalanzeige" auf dem Geschwindigkeitsmesser des Citroën GS

• noch Uhren mit digitaler Anzeige

haben sich (bisher) wirklich durchsetzen können.

(Und was ein Mann von Welt ist, trägt eh nur "richtige" Uhren, bei denen nicht nur die Anzeige, sondern auch das Innenleben mechanisch ist.)

Wenn also meine These richtig sein sollte, dass die Brüche aussterben

(im Alltag überhaupt keine Rolle mehr spielen),

so gibt es für die Bruchrechnung auch keinerlei - was heutzutage ja immer lautstark gefordert wird - "Anwendungsaufgaben".

Dazu ein Beispiel:

Anne hat eine tolle Party gefeiert. Es sind noch Teile von zwei Kirschtorten, Reste von zwei Schokotorten und auch noch zwei Pizzareste übrig geblieben. Anne beschließt, ihre besten Freundinnen am nächsten Tag zum "Resteessen" einzuladen. Sie legt die übrig gebliebenen Reste jeweils auf eine Platte zusammen: Eure Aufgaben: a) Wie viel Kirschtorte ist insgesamt noch übrig? b) Wie viel Schoko-Torte muss noch gegessen werden? c) Wie groß ist der übrig gebliebene Pizza-Rest?

Durchaus realistisch ist es ja noch, dass Anne nach ihrer Party

(die man - nebenbei gesagt - nicht anbiedernd als "toll" aufmotzen sollte, zumal keinE SchülerIn heute mehr das Wort "toll" benutzt; wenn überhaupt, so was eine Party [?] "geil")

die Reste zusammenkratzt und vielleicht auch noch weiter verfüttert.

Aber kein Mensch wird nach einer Party berechnen, wie viel übrig geblieben ist.

(Das ja nebenbei ist einer meiner Einwände gegen die meisten vermeintlichen Anwendungsaufgaben:

• ganz grundsätzlich, dass sich die Probleme überhaupt nicht "in freier Wildbahn" stellen,

• oder zumindest, dass die Probleme sich dort nicht "so" stellen.

Die beiden Kriterien, dass sich also die Aufgaben

• überhaupt in "freier Wildbahn" stellen,

• dort auch "so" stellen,

scheinen mir allemal wichtiger als "Jugendnähe", die überhaupt erst letztes Kriterium sein dürfte.)

Wohlgemerkt: ich hab´ gar nichts gegen die Anne-Party-Aufgabe:

• sie mag eine schöne Veranschaulichung sein,

• aber sie ist garantiert keine Anwendung (vgl. "Anschauung statt Anwendung").

Pädagogischer Exkurs: wie an den Haaren herbei gezogen vermeintliche Anwendungsbezüge der Bruchrechnung oftmals sind, wird auch daran klar, dass eine runde Sache meist ein Kuchen ist ("Tortendiagramme"), eine rechteckige Sache aber meist eine Pizza - eine nostalgische Reminiszenz an die gute alte Zeit, in der Muttern die Pizza noch selbst auf einem Backblech machte, während heutzutage jede Fertigpizza rund ist - außer die im freien Straßenverkauf und die "Familienpizza" von Aldi. Es ist doch immerhin bemerkenswert, dass in der Bruchrechnung andauernd Kuchen- und Pizzaaufgaben vorkommen, aber nie echte Kuchen und Pizzas zerschnitten werden (... was geradezu Grundproblem des normalen Matheunterrichts ist: wann denn z.B. werden in der Körpergeometrie mal echte Zylinder, Kegel, Pyramiden ... gebaut oder zerschnitten; vgl. ). Warum tut man das nicht? vermutlich, weil es im normalen Unterricht zu aufwendig wäre - und außerdem in einer hübschen Tortenschlacht enden würde. Zudem neigen SchülerInnen mit Recht dazu, Kuchen und Pizza wegzuspachteln, bevor sie damit überhaupt Bruchrechnung treiben konnten. , weil man anscheinend darauf vertraut, dass SchülerInnen "im richtigen Leben" schon oft Kuchen und Pizzas zersäbelt haben, das Bild dieser Tätigkeit also längst internalisiert ist und darauf nur noch angespielt werden muss.  "Man" befindet sich mit der Anspielung auf echte Torten bzw. Pizzas schon auf halbem Wege zur Abstraktion (und wie schon gesagt: die Fragestellungen sind sowieso völlig wirklichkeitsfremd). Aber kann und darf man denn so selbstverständlich voraussetzen, dass die SchülerInnen jemals echte Kuchen und Pizzas zerschnitten haben? Ich kenne eine Menge Jugendliche, denen jegliche "hausfrauliche" Betätigung von Mami abgenommen wurde - und Papi tut zuhause ja eh keinen Handschlag. Müsste die richtige Reihenfolge nicht sein?: echte Torten mit einem Messer zerschneiden (und mit ihnen rechnen), Papiertorten mit einer Schere zerschneiden (im Hinterkopf noch immer die Vorstellung einer echten Torte), mit Papiertorten hantieren, ohne sie noch zu zerschneiden (ein virtuelles Umordnen allein im Kopf), mit Papierkreisen hantieren (wobei zunehmend die Vorstellung "Torte" verschwindet), mit Kreisen im Kopf "hantieren" (im Hinterkopf noch immer die Vorstellung eines Papierkreises), mit abstrakten Brüchen auf dem Papier und im Kopf "hantieren" (wobei erst jetzt jede anschauliche Vorstellung [echte Torte, Papierkreis] abhanden gekommen ist; ist sie es wirklich, zerlegen wir nicht alle noch immer irgendwelche Kreise, Rechtecke ...?). Und vertraut man nicht allzu leicht darauf, dass ein einziger solcher Schnelldurchgang vom Konkreten zum Abstrakten reicht - und die SchülerInnen dann von selbst mit abstrakten Brüchen "hantieren" können? (Man [LehrerInnen] macht am Anfang der Unterrichtseinheit "Bruchrechnung" einige neckische Spielchen und bringt auch Modelle mit, aber spätestens bei den Bruchrechenregeln wird dann nur noch mit abstrakten Brüchen "hantiert"; vielleicht sogar mit gutem Grund?: ) Sollte solcher Durchgang vom Realen zum Abstrakten nicht vielmehr immer wieder stattfinden? Ich plädiere bei Anwendungsaufgaben ja nur für Ehrlichkeit: entweder zerschneidet man echte Torten und Pizzas, oder man gibt erst gar nicht vor, Torten und Pizzas zu zerschneiden, sondern spricht nur von Papierkreisen, und selbst bei diesen spricht man nur von "zerschneiden", wenn sie tatsächlich mit einer Schere zerschnitten werden. Oftmals wird gesagt, den verschiedenen "Lerntypen" zuliebe müsse (laut Bruner) ein Stoff enaktiv (durch Handlung), ikonisch (durch Bilder) und symbolisch (vor allem durch Sprache) (wobei diese Schritte nacheinander oder parallel stattfinden können) vermittelt werden. Dabei sei aber daran erinnert, was das Wort "symbolisch" bzw. "Symbol" zumindest laut Lexikon bedeutet: Symbol [griechisch] das, allgemein: ein wahrnehmbares Zeichen beziehungsweise Sinnbild (Gegenstand, Vorgang, Handlung, Zeichen), das stellvertretend für  etwas nicht Wahrnehmbares [farbliche Hervorhebungen von mir, H.St.], einen Sinngehalt, oft einen Komplex von Sinnbezügen steht; im engeren Sinn jedes Schrift- oder Bildzeichen mit verabredeter oder unmittelbar einsichtiger Bedeutung. In diesem Sinne spielen Symbole in Religion, Kunst, Literatur, aber auch in den Naturwissenschaften eine wichtige Rolle, etwa physikalische, chemische (chemische Elemente) und mathematische Symbole (mathematische Zeichen), Symbole in der Datenverarbeitung oder Technik (z.B. Schaltzeichen).  [...] (2002 Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG) Im üblichen Bruchrechnungsunterricht (wie überhaupt in allem üblichen Mathematikunterricht?) wird aber oftmals übersehen, dass Symbolik (und damit meine ich insbesondere die Bruchschreibweise) zweischrittig ist:                                                         "stellvertretend für etwas durchaus Wahrnehmbares", und erst die eigentliche Wissenschaft: "stellvertretend für etwas nicht        Wahrnehmbares" (oder gar für etwas "außerhalb" gar nicht Existentes!?). D.h. eine vierschrittige Pädagogik (enaktiv - ikonisch - symbolisch [1.] - "eigentliche" Wissenschaft: symbolisch [2.]) wird sträflich zu einer dreischrittigen verkürzt (enaktiv - ikonisch                          - "eigentliche" Wissenschaft: symbolisch [2.]), es fehlt also völlig der Übergang. Man springt ins Abstrakte (wenn man überhaupt jemals anschaulich war), statt zunehmend zu abstrahieren. (Dabei sei dringend ergänzt, dass die weitgehende Abstraktion natürlich das Ziel bleiben muss: das Kleben an reiner Anschaulichkeit/Anwendbarkeit wäre ja geradezu unmathematisch.) Die entscheidende Lücke entsteht bei der Bruchrechnung also, wenn von "Kuchenanteilen" allzu schnell zur Bruchschreibweise gesprungen und dann nur noch letztere weiter verfolgt wird (der simpelste und gleichzeitig durchaus verständliche Fehler ist dann die Verwechslung von Zähler und Nenner [nicht nur der Begriffe], also die Unklarheit über und deshalb geradezu die Gleichsetzung z.B. von 3/4 und 4/3 und damit verbunden der völlig fehlende Sinn für die Größenordnung von Brüchen).

Als echte - und dann (seien wir endlich ehrlich!) "nur" innermathematische - Anwendungen von Brüchen fallen mir nur ein

• die Wahrscheinlichkeitsrechnung sowie

• die Differential- und Integralrechnung (das Hantieren dort mit Koeffizienten und Exponenten),

die aber beide in Schulen erheblich später durchgenommen werden als die Bruchrechnung, auf die hin also kaum motivierbar ist.

(Nebenbei: sowohl in der Wahrscheinlichkeits- als auch in der Differential-/Integralrechnung braucht man nur allersimpelste Brüche!)

Eine Motivation der SchülerInnen kann - wenn überhaupt - also nur "aus der Sache heraus" bzw. dem zweckfreien "Spiel" mit Brüchen erfolgen:

"Teile einen Kreis in sieben [gleiche] Teile!"

Gestehen wir uns also frohgemut ein, dass es für die Bruchrechnung (fast) keine echten Anwendungen (mehr) gibt.

Nach solchem Eingeständnis kann ich aber ebenso frohgemut "die Katze aus dem Sack" lassen:

Totgesagte leben länger

Oder anders gesagt:

Wenn ich soeben von einer "grundsätzlicheren" Bedeutsamkeit sprach, so meine ich damit allerdings keineswegs "nur" eine (allemal wichtige und legitime!) innermathematische.

(Denn der Verdacht ist ja keineswegs unberechtigt - und auch nicht ehrenrührig -, dass die Bruchrechnung vor allem deshalb so ausführlich im Mathematikunterricht durchgenommen wird, weil es da um langfristig-zunehmende Zahlbereichserweiterungen geht

[mit allen faszinierenden innermathematischen Überlegungen; vgl. etwa  ]:

• Grundschule: die natürlichen Zahlen,
• 5. Klasse: negative Zahlen,
• 6. Klasse: Brüche [rationale Zahlen],
• 9. Klasse: irrationale und reelle Zahlen,
• evtl. in Differenzierungs- und Oberstufenkursen: komplexe Zahlen.

Ich behaupte vielmehr,

Ein erster Beleg dieser These scheint mir anhand von

  und

oder genauer: dem Umstand, dass sie sich (bislang?) nicht durchsetzen konnten, möglich:

digitale bzw. dezimale Anzeigen haben einige entscheidende Nachteile:

1. sind sie - gemessen am "Bedarf" oftmals viel zu genau: meistens möchte man (bei einem schnellen Seitenblick auf die Uhr) ja gar nicht wissen, dass es (wie auf ) exakt 10.08 Uhr ist, sondern es reicht: "Es ist kurz nach 10 - und mein Flugzeug geht in knapp zwei Stunden [genau: um 12.03 Uhr], d.h. ich habe noch genug Zeit."

2. Solch eine grobe Orientierung ist aber nicht möglich, weil die Digital- bzw. Dezimalanzeigen nur einen Ausschnitt liefern:

• der Tachometer zeigt immerhin noch einen Ausschnitt von 140 bis 160 km/h

(wobei man allerdings noch kräftig [zeitaufwendig, s.u.] kombinieren muss, da weder 140 noch 160 vollständig sichtbar ist),

• die Digitaluhr hingegen zeigt (zumindest eine Minute lang) keinerlei Vorher und Nachher, sondern nur eine eingefrorene Zeit.

3. Einer der Hauptgründe dafür, dass sich Digitaluhren fast gar nicht durchsetzen konnten, scheint mir darin zu liegen, dass man zum Ablesen viel zu viel Zeit (!) braucht:

• bei muss man fünf Zeichen (nämlich 1, 0, . , 0, 8) aufnehmen

(die zudem klitzeklein sind),

• während man bei

(und dabei sei mal der im Alltag sowieso überflüssige und daher sehr dünne Sekundenzeiger vernachlässigt)

nur zwei Informationen ablesen muss:

• kleiner (Stunden-)Zeiger schräg links oben,

• großer (Minuten-)Zeiger schräg rechts oben.

... und überhaupt scheint die runde (Bruch!-)Uhr ein geniale Erfindung zu sein

( ist bezeichnenderweise eckig und offensichtlich nur noch aus Konvention, nicht aus Prinzip rund),

weshalb sie auch bei Tachometern kopiert wird:

Denn das "Rundsein" der Tachometer ist ja nicht eine direkte Folge ihres Prinzips: anders als die Uhr (bei der 0 Uhr = 12 Uhr = 24 Uhr ist) funktioniert ein Tachometer ja nicht periodisch.

Vielleicht "klaut" der Tachometer sein Aussehen und seine Suggestivität also nur bei der allgekannten Uhr.

Bemerkenswert finde ich aber auch, dass bei allen gezeigten Tachometern die optimale Geschwindigkeit für Landstraßen und Autobahnen genau oben anzeigt wird, so dass deren Überschreitung geradezu als gefährlicher Abstieg erscheint.

Das ist natürlich nur durch die Symmetrie möglich, die oftmals dadurch erreicht wird, dass der Höchststand völlig übertrieben ist, vom Auto also gar nicht erreicht wird.

Wichtig dabei ist wieder, dass Tachometer - wie Analoguhren - in der Regel nur der groben Orientierung dienen

(für genaueres Hinschauen hat man im Verkehrsstress auch gar keine Zeit):

jeder weiß

• links auf halber Höhe liegt die Innerort-Geschwindigkeit (50 km/h),

• oben die Geschwindigkeit für Landstraßen (100 km/h) und Autobahnen (130 km/h).

Da reicht ein Blick (ohne jede Analyse).

Meine These zum eigentlichen Zweck der Bruchrechnung ist also:

Vorerst nochmals

zu 1.

(und zwar bewusst anhand eines "rein" mathematischen Beispiels):

bei ¹/₇ ≈ 0,142857 sind die letzten Stellen in der Dezimalschreibweise für eine erste Einschätzung völlig überflüssig; mehr noch: sie verhindern geradezu eine grobe Orientierung.

Das ist eine aus mathematischer Sicht durchaus bemerkenswerte Feststellung, denn eigentlich ist ja

1. nur ¹/7 absolut exakt (z.B. 7 • ¹/7 ist exakt gleich 1),

2. während 0,142857 wegen der abgeschnittenen unendlich vielen (periodischen) Stellen geradezu obszön ungenau ist (vgl. 7 • 0,142857 = 0,999999 ungleich 1).

Solche "Erziehung" zur absoluten

(die Mathematik u.a. ausmachenden und von sämtlichen anderen Wissenschaften unterscheidenden)

Genauigkeit ist einerseits durchaus wichtig, und dennoch werden die MathematiklehrerInnen das glatte Gegenteil hinzulernen müssen:

0,142857 ist viel zu genau (und zudem wegen der - trotz späterer Periodizität - völlig unregelmäßigen Ziffernfolge zumindest auf Anhieb völlig unanschaulich), während paradoxerweise 1/7 geradezu erleichternd ungenau ist: es reicht der ungefähre Eindruck ; da interessiert es "kein Aas", ob das absolut exakt gezeichnet ist (also z.B. in Millimetern auf sechs Stellen genau wie in 0,142857).

zu 2., also dem "Denken in Verhältnissen":

Wie bedeutsam die Bruchrechnung schon ist, wird klar, wenn man erkennt, dass die heiligsten Bildungskühe der Spießer

(vgl. ),

also

• sowohl der "Dreisatz"

(3 Bananen kosten 4 €. Wieviel kosten 5 Bananen?

³/₄ = ⁵/_x  x = ²⁰/₃

Nebenbei: wie sinnig doch das Ergebnis ist!: 5 Bananen kosten ²⁰/₃ = 6,6666666666 ... € .)

• als auch die Prozentrechnung

(17 % = 17 Prozent = 17 von 100 = ¹⁷/₁₀₀)

auch nur verkappte Bruchrechnung sind.

Hier deutet sich schon an, dass die Bruchrechnung "nur" ein besonders deutliches (und geeignetes?!) Beispiel für etwas viel "Bedeutsameres" (Allgemeinbildung!) ist:

Zumindest für alle mathematisch orientierten (Natur-)Wissenschaften und damit eine ganze "Sichtweise der Welt" gilt:   "Doch selbst wenn wir über das Wesen der Dinge nichts wissen können, so lässt sich über ihr Verhältnis zueinander und ihr Verhalten miteinander sehr wohl etwas aussagen." "Während die klassische Physik noch als eine Theorie der Objekte gelten kann, wird die Quantenphysik [...] zu einer reinen Theorie der Beziehungen." Dieses "Denken in Verhältnissen und Beziehungen" scheint mir aber eine ebenso zentrale "Idee" (nicht nur) der Mathematik zu sein wie jene "Ideen", die im Lehrplan der Oberstufe für das Fach Mathematik in NRW auftauchen: Räumliches Strukturieren, Funktionaler Zusammenhang, (worunter Verhältnisse und Beziehungen evtl. fallen) Wahrscheinlichkeit, Algorithmus, Mathematisches Modellieren.

Es scheint mir durchaus bemerkenswert, dass mein Sohn (derzeit zwei Jahre alt) nach den Substantiven erst einige Verhältniswörter benutzte ("oben/unten") und erst danach auch Verben in seine sich langsam entwickelnden Sätze einbaute: nach den (statischen) Tatsachen folgten deren (noch immer statischen) Verhältnisse zueinander - und dann erst die Bewegungen (Verben).

Zum engeren Thema "Umgang mit Brüchen":

Während aber die reine Bruchrechnung vermutlich wohl unvermeidbar relativ enggeführt werden muss

(ein wenig übertreibend und böse gesagt: "Selbstlernen" da ist methodischer Schnickschnack: vgl. etwa ),

bietet eine Einführung in das "Denken in Verhältnissen und Beziehungen" unendlich viele

• Möglichkeiten offenen Unterrichts,

• thematische (fächerübergreifende) Ansätze.

Vor allem müsste solch eine Einführung in das "Denken in Verhältnissen und Beziehungen" weit "vormathematisch" anfangen.

(vgl.  )

Nur einige allererste Ansätze:

• über/unter, vor/hinter, nördlich/östlich/südlich/westlich, ... , doppelt/halb, größer/gleich/kleiner,

• "eine Kuh verhält sich zum Kalb wie eine Sau zum Ferkel",

• "Mit einem Modell kannst du dir die Größenverhältnisse und Entfernungen im Sonnensystem einigermaßen gut vorstellen. Nimm an, wir würden das Sonnensystem so weit schrumpfen lassen, dass die Sonne nur noch so groß wie ein Gymnastikball (70 cm) ist. Die Tabelle zeigt dir, wie groß und in welchem Abstand dann die Planeten zu finden wären:

  Himmelskörper	Merkur	Venus	Erde	Mars	Jupiter	Saturn	Uranus	Neptun	Pluto
  Modellkörper	Stecknadelkopf	kleine Erbse	große Erbse	Senfkorn	Apfelsine	Mandarine	Pflaume	Pflaume	Stecknadelkopf
  Abstand zur Sonne	30 m	55 m	75 m	120 m	400 m	700 m	1,5 km	2,3 km	3 km

  Wenn also in diesem Modell die Sonne ein großer Gymnastikball von 70 cm Durchmesser ist, hat die Erde die Größe einer Erbse, die die Sonne in 75 m Abstand umkreist. Jupiter kannst du dir als Apfelsine in 400 m Entfernung vorstellen, während Pluto stecknadelkopfgroß 3 km entfernt ist. Der nächste Stern ist in diesem Modell aber immer noch 20´000 km entfernt - das ist in Australien!"
  (zitiert nach )

• "Eisenbahnwelten im Maßstab 1:1 und 1:160": ,

• "die dümmsten Bauern haben die dicksten Kartoffeln" ≈ "die voluminöse Expansion eines subterralen Agrarproduktes ist reziprok proportional zur intellektuellen Kapazität ihres Produzenten"
  (womit wir schon bei den [u.a. proportionalen, antiproportionalen ...] Funktionen sind!),

• "Knicke ein Blatt so oft wie möglich" und "Wir richten ein wahres Gemetzel an - und halbieren (wiederholt) alles und jedes, also verschiedene Materialien und verschiedene Größen." (vgl. zu beiden Aufgabenstellungen ),

•  

• "alle [verschieden großen!] Töpfe sind gleichermaßen halb voll":

• "erst ist 1,80 m groß" ≈ "er ist 1,8 = ¹⁸/₁₀ = ⁹/₅ mal so groß wie das Standardmaß Meter"

,

• ... )