der "ball drop" am Times Square in New York

Als letztens auf einem Familienfest mein Sohn und zwei Neffen nebeneinander saßen, fiel mir auf, dass alle drei New-York-T-Shirts trugen:

New York ist anscheinend noch immer

(völlig unabhängig davon, ob Vieles davon nur Klischee ist)

der Inbegriff von

• Metropole

(wovon sich dann das Ruhrgebiet eine Scheibe abschneiden möchte:  ),

• Hochhäusern/Skyline

(die allemal einschüchternd imposant, aber eben doch nur tot sind; da liebe ich mir doch die lebendigen und manchmal geradezu kleinstädtischen Viertel dazwischen, also z.B.  ),

• “american way of life“,

• pulsierendem Leben

(   : „I want to wake up in a city that doesn‘t  sleep“),

• multikulti und Weltoffenheit.

(Wegen all dem schimpft sich das vergleichsweise mickrige Frankfurt gerne peinlich anmaßend .)

New York ist also

(zumindest in der westlichen Kultur)

noch immer der Inbegriff von Großstadt, obwohl es längst größere Städte

(bzw. „Metropolregionen“, also Städte mit ihrem Umland)

gibt:

(Quelle: )

Und in einer neuen Liste aus dem Jahr 2018 taucht New York unter den zehn größten Städten der Welt sogar überhaupt nicht mehr auf:

(Schonmal was von Guangzhou gehört?

Nebenbei: wegen der weltweit rasant zunehmenden Verstädterung gibt es Leute, die sagen, dass sich das Schicksal der Menschheit in den Städten [beim Krieg in den Städten] entscheiden werde.)

Was aber „Großstadt“ bedeutet, kann man exemplarisch in dem Buch   erfahren.

Der Inbegriff von New York ist Manhattan, und der Inbegriff von Manhattan ist neben wohl der , wo sich die Touristen und - seltener - auch mal die Einheimischen knubbeln:

Am „Times Square“ schneiden sich in einem sehr spitzen Winkel Broadway (!) und 7th Avenue

  ,

so dass sich im Süden ein sehr schmales Grundstück ergibt:

Auf diesem Grundstück steht seit 1905 das (immer wieder veränderte) Gebäude „Times Square One“:

In dem Gebäude war ursprünglich die Redaktion der Zeitschrift „New York Times“ oder kurz „Times“ untergebracht

(wonach dann auch der Platz benannt wurde),

die da allerdings wegen Platzmangels längst weggezogen ist.

Weil das Gebäude so schmal ist, ist es kaum zu vermieten: in den untersten drei Geschossen ist zwar heute noch eine Apotheke, aber der restliche Bau steht seit Langem leer, weshalb er manchmal auch einfach „One empty“ genannt wird.

Für das Gebäude hat sich inzwischen eine viel lukrativere Verwendung als die Vermietung der Räume ergeben: heute dient es als gigantische Reklametafel mit den vermutlich teuersten Reklameplätzen der Welt:

(Für was da Reklame gemacht wird, ist eigentlich herzhaft egal,
Hauptsache, alles ist gigantisch und bunt und flimmernd.)

Oben auf dem Gebäude befindet sich seit 1909 der inzwischen mehrfach ersetzte

„Times square ball“

bzw. „New year‘s eve [= evening] ball“ oder kürzer „Eve ball“, der so heißt, weil mit ihm jedes Jahr in der Nacht von Sylvester auf Neujahr dramatisch der Jahreswechsel-Countdown gefeiert wird, was die New Yorker auf dem Times Square mit einer gigantischen und weltweit im Fernsehen übertragenen Party feiern:

(Weitere Informationen zum Eve Ball: ; und es gibt sogar [irre!] eine "App" fürs Handy/Tablet: )

Hier aber erstmal eine kleine Zwischenbilanz:

• New York

• und da insbesondere Manhattan ,
  

• dort der „Times Square“,

• an diesem „Times Square Nr. 1“,

• auf diesem der Eve Ball

• und dann die Neujahrsfeier davor auf dem „Times Square“

werden wohl allemal Schüler faszinieren!

Und diese Faszination könnte für sie ja vielleicht doch Anlass sein, sich mal bereiteillig den Eve Ball genauer anzuschauen.

Dabei sind natürlich insbesondere die beim neuesten "Eve Ball" schier unendlich vielen

(und zudem fließend ineinander übergehenden)

Beleuchtungsvarianten faszinierend:

Hier nur einige Beispiele für die Mustervielfalt:

All diese Muster basieren auf

1. den erst durch die neue LED-Technik möglichen Farbvarianten,

2. der Geometrie des Eve Balls.

Wenn der Eve Ball aber nicht beleuchtet ist, ist seine Konstruktion nur halbwegs erkennbar: 

(Nebenbei: damit der Eve Ball überhaupt unten auf dem Times Square erkennbar ist,
muss er ziemlich groß sein [3,7 m Durchmesser].
Diese Größe macht ihn aber überhaupt erst - aus der Nähe betrachtet - so imposant,
und deshalb sollte auch ein Modell [s.u.] des Eve Balls größenmäßig "was hermachen".)

Da erkennt man

1. große Dreiecke ,

2. wenn man genau hinschaut, sogar verschiedene große Dreiecke ,

3. , dass die großen Dreiecke jeweils aus vier mittelgroßen Dreiecken zusammengesetzt sind ,

4. , dass die mittelgroßen Dreiecke wiederum aus vier kleinen Dreiecken zusammengesetzt sind:
   

Damit ist der Eve Ball auf eine Art zusammengesetzt, die an das Sierpinski-Dreieck erinnert:

(sagen wir mal: einer 9. Klasse [s.u.])

schonmal

1. etwas entdecken, was im üblichen Mathematik-Unterricht leider kaum jemals vorkommt, nämlich

,

2. ein

(z.B. bei der Herleitung des Kreisumfangs und der Kreisfläche sowie der Ableitung und des Integrals benutztes)

Grundprinzip mathematischen Denkens kennenlernen, nämlich die unendliche, immer feinere Iteration, wofür - von wegen - die Kochkurve ein weiteres schönes, dem Sierpinski-Dreieck ähnliches Beispiel ist:

3. mit dem Sierpinski-Dreieck und der "Selbstähnlichkeit" immerhin endlich einen ersten Einblick in ein hochinteressantes Teilgebiet der Mathematik bekommen, das sonst an Schulen leider gar nicht vorkommt, nämlich in die "Fraktale":

4. beim Sierpinski-Dreieck durchaus auch schon in einer 9. Klasse „richtige“ Mathematik treiben, nämlich

• die Berechnung
• der verbleibenden Fläche  (wenn A₀ die Anfangsfläche ist),
• des Umfangs der verbleibenden Dreiecke (wenn l₀ der Anfangsumfang ist),

nach dem n-ten Schritt,

• den Übergang für zum jeweiligen Limes (!), also
• A_n → 0 ,
• l_n → ∞  . 

Das Sierpinski-Dreieck ist somit ein geradezu gerhinausrenkendes „Land“,

• dessen Fläche unendlich klein wird,
• wobei allerdings sein Umfang unendlich groß wird.

Man kann sich das etwa so vorstellen, als wenn im Vatikan viele kleine Seen und zwischen den bereits bestehenden Seen noch immer kleinere Seen angelegt werden ,

• deren Ufer, wenn man sie zum Umfang hinzuzählt, den Umfang des Vatikans gegen unendlich treiben,
• während die Fläche dieser Seen von der Grundfläche des Vatikans abgezogen wird, so dass dessen Grundfläche gegen Null geht:

(Je mehr immer kleinere zusätzliche Löcher man in den Käse macht,
desto weniger [Volumen] bleibt von ihm übrig,
desto größer wird allerdings auch die Oberfläche aller Löcher zusammen:

Wichtig dabei ist allerdings, dass die Löcher nie zusammenwachsen,
sondern immer noch [wenn auch sehr schmale] „Landbrücken“ zwischen ihnen bleiben.)

Oben waren schon als Grundbestandteile des Eve Balls große, mittlere und kleine Dreiecke identifiziert worden:

Unklar ist allerdings noch, wie der Eve Ball aus den großen Dreiecken zusammengesetzt ist, die zudem anscheinend unterschiedliche Größen/Formen haben:

Nun

• sind einerseits die möglichen Beleuchtungsmuster des Eve Balls durch seine Konstruktionsweise vorgegeben,

• können andererseits aber bestimmte Beleuchtungsmuster auch helfen, die Konstruktionsweise überhaupt erst zu verstehen:

Besonders geeignet scheint mir da aber das Beleuchtungsmuster

:

Hier erkennt man deutlich

1. ausgefüllte Fünfecke:   bzw. ,

2. sternförmige Sechsecke:  bzw. .

Wenn man aber diese beiden Grundbestandteile, also Fünf- und Secksecke, entdeckt hat, sieht man vielleicht auch, wie sie zueinander liegen: es sind immer fünf Sechsecke  ringförmig um ein Fünfeck angeordnet:

Damit ist der Eve Ball

(zumindest auf den ersten Blick)

genauso aufgebaut wie der klassische Fußball  und trägt er damit zu Recht den Namen "Ball"

(zur Geometrie des Fußballs siehe ; und es wäre sinnvoll, den Eve Ball und den Fußball im Unterricht zusammen durchzunehmen).

Aber von wegen "zumindest auf den ersten Blick", also "nicht auf den zweiten Blick": die aus Fünf- und Sechsecken zusammengesetzte Form des Fußballs wird in der Mathematik arg umständlich als "abgestumpftes Ikosaeder" bezeichnet, das so aussieht: 

Dabei sind die Fünf- und Sechsecke flach, so dass sich

• keine Kugel ergibt,

• sondern

(wie man beispielsweise an dem grün markierten Sechseck in   sieht)

ein allseits leicht abgeflachter Körper: das abgestumpfte Ikosaeder hat also immer noch viele, wenn auch nicht sonderlich hervorspringende Ecken und Kanten. Beim Fußball ist das kein Problem, da die eigentlich flachen Fünf-und Sechsecke sich durch den inneren Luftdruck nach außen wölben, womit sich dann eben doch annähernd eine Kugel ergibt.

Beim Eve Ball hingegen gibt es diesen inneren Luftdruck nicht, haben die Ingenieure die flachen Fünf- und Sechsecke des abgestumpften Ikosaeders aber dennoch zu "entschärfen" versucht. Wenn man nämlich genau hinschaut, erkennt man, dass beim Eve Ball die Fünf- und Sechsecke keineswegs flach, sondern nach außen "ausgebeult" sind:

Das sieht dann etwa so aus:

• bei den Fünfecken:

• bei den Sechsecken:

Es ergeben sich also fünf- und sechseckige Pyramiden.

Nun

• liegen die Eckpunkte der ursprünglichen Fünf- und Sechsecke bereits alle auf einer Kugel,

• muss aber noch dafür gesorgt werden, dass die neu entstandenen Pyramidenspitzen • ebenfalls auf dieser Kugel liegen, dass also die fünf- und sechseckigen Pyramiden die passenden Höhen h₁ und h₂ haben.

Diese geeigneten Höhen h₁ und h₂  lassen sich mit dem Satz des Pythagoras berechnen, wobei die bereits eingezeichneten Hilfs-Strecken ••••• hilfreich sind.

(Das sei hier nicht genauer erklärt, ist aber allemal eine schöne Anwendung des "Pythagoras", der üblicherweise in der 9.Klasse durchgenommen wird.)

Mit all diesen Erkenntnissen läßt sich nun ein Modell des Eve Balls erstellen. Dazu werden

• jeweils fünf passende Dreiecke zu einem "gewölbten" Fünfeck zusammengesetzt,

• jeweils sechs passende Dreiecke zu einem "gewölbten" Sechseck zusammengesetzt.

Wenn man sich nun eine "Abwicklung" eines Fußballs anschaut, erkennt man, dass man für ein komplettes Modell des Eve Balls 12 Fünf- und 20 Sechsecke benötigt.

Das ergibt

• 12 • 5 = 60 Dreiecke der Sorte ,

• 20 • 6 = 120 Dreieke der Sorte ,

• insgesamt also 180 große Dreiecke.

Und wenn man jetzt noch zusätzlich die mittleren und kleinen Dreiecke hineinschneiden wollte, müssten insgesamt 1620 Dreiecke geschnitten werden, was

(weil ein Dreieck ja drei Seiten hat)

auf 4860 (!) Schnitte hinausliefe.

Das war mir nun doch des Guten zu viel, weshalb ich nur das "Grundprinzip" (ein Fünfeck mit sechs Sechsecken ringsum) gebaut habe:

(Mit den ca. 30 Schülern einer Klasse ließe sich aber sicherlich auch ein komplettes Eve-Ball-Modell basteln.)

Und wenn man nun noch - wie beim Original-Eve-Ball - eine Beleuchtung einbaut, ergibt sich

PS:	kein Wunder, dass auf dem Buch eben gerade das abgestumpfte Ikosaeder         (mit seiner Annäherung an eine Kugel) als Musterbeispiel für die "Schönheit und Harmonie geometrischer Formen" gezeigt wird.