genial einfach: das kartesische Koordinatensystem

René Descartes
(1596-1650)

war ein typisches Frühneuzeit-Universalgenie und von gar nicht hoch genug zu veranschlagender Wirkung auf unser gesamtes neuzeitliches Denken:

"Descartes versuchte, die rationalistischen und induktiven Methoden der Wissenschaft, insbesondere jene der Mathematik, auf die Philosophie zu übertragen. Die Philosophie vor seiner Zeit wurde von den Methoden der Scholastik beherrscht, die sich ganz auf den Vergleich und die Gegenüberstellung von Lehrmeinungen stützten. Stattdessen postulierte Descartes: „Auf unserer Suche nach dem unmittelbaren Weg zur Wahrheit sollten wir uns nicht mit Dingen abgeben, über die wir keine mit den Beweisen der Arithmetik und Geometrie vergleichbare Gewissheit erlangen können." Er beschloss, nichts für wahr anzuerkennen, bis er nicht die Gründe herausgefunden habe, die ihn dazu veranlassten, etwas als wahr anzusehen. Die einzig sichere Tatsache, von der er in seinen Untersuchungen ausging, wird in seinem berühmt gewordenen Ausspruch ausgedrückt: Cogito, ergo sum, („Indem ich denke (zweifle), bin ich"). Nur der Akt des Denkens beweist die eigene Existenz. Gott hat der kartesianischen Philosophie zufolge zwei Arten von Substanzen geschaffen, aus denen die gesamte Realität besteht. Die eine ist die denkende Substanz (Res cogitans) und die andere die ausgedehnte Substanz (Res extensa)."
(Microsoft Encarta)

Wie vielleicht sonst nur sein Zeitgenosse Francis Bacon (1561-1626) hat er unsere naturwissenschaftliche Herangehensweise an die Welt, aber auch unser Selbstbild (eben die scharfe Trennung von "res cogitans" und "res extensa") geprägt: dass in uns selbst eine scharfe Trennung zwischen Körper einerseits und Geist andererseits vorliege.

Die simpel mechanistische Form heutiger Genetik und Gehirnforschung, die nun alles auf die eine Hälfte, nämlich die "res extensa" (und letztlich auf Physik) zurückführen will, baut da keine Querverbindung zwischen den zwei Säulen, sondern gibt vor, das Problem zu lösen, indem sie die eine Säule (die "res cogitans") einfach wegsprengt.

Vermutlich würde der tiefreligiöse Descartes (wie viele andere frühneuzeitlichen Denker, z.B. auch Galilei) sich im Grabe umdrehen, wenn er wüsste, wie billig mechanistisch bzw. "anti-cogitantisch" seine Philosophie nachher und bis heute ausgelegt worden  ist: als pures Leugnen der "res cogitans" bzw. Reduktion auf die "res extensa".

Da unsere heutige Naturwissenschaft wie auch unser Selbstbild ja nicht ausschließlich nur Erfolgsgeschichten waren und sind, sucht man oftmals gerne die Sündenböcke ("wann und mit wem hat der Irrweg angefangen?") - und findet sie mit Vorliebe eben in

• Francis Bacon oder

• René Descartes (vgl. etwa Antonio R. Damasio: Descartes Irrtum; Fühlen, Denken und das menschliche Gehirn).

In der Tat ist seit Descartes einiges schief gelaufen, aber ein Vorwurf gegen ihn selbst

• überschätzt wohl völlig die Wirkungsmöglichkeiten eines Philosophen: er kann nur Erfolg haben, wenn er seinen Zeitgeist vielleicht auch anstößt, vor allem aber genial aufnimmt; so gesehen ist ein Genie "nur" die Quintessenz seiner Zeit;

• hat schnell den Ruch, die Rache der Mittelmäßigen zu sein: "wenn ich schon dumm bin, soll Descartes zumindest dicke Fehler gemacht haben; wenn ich schon wirkungslos bin, soll seine Wirkung wenigstens fatal gewesen sein".
   

Vielleicht der größte Geniestreich Descartes (bzw. die simpelste Konsequenz seines Denkens) war das nach ihm benannte "kartesische Koordinatensystem", also im Zweidimensionalen:

(das funktioniert auch - mit einer zusätzlichen Achse - im Dreidimensionalen
bzw. - wenn auch abstrakter, nämlich über Vektoren - im Höher-,
 also z.B. Vierdimensionalen.)

Es ist ungeheuer wichtig, die historischen Konsequenzen dieses Koordinatensystems  bzw. dessen, was in ihm (bis in unser Selbstbild hinein) kodiert ist, zu bedenken:

"Wir sind heute so daran gewöhnt, Raum in geometrischen-physikalischen Kategorien zu denken, daß es uns schwerfällt, irgendein anderes ["metaphysisches"] räumliches System ernst zu nehmen. Dabei hat der Historiker Max Jammer betont, daß die Vorstellung eines dreidimensionalen Koordinatensystems erst im 17. Jahrhundert formuliert wurde.
[...]
Im 17. Jahrhundert, als  die Mathematiker [man könnte geradezu sagen: putschartig] den Raum in Besitz nahmen [...], machten die abendländischen Konzeptionen sowohl vom irdischen als auch vom himmlischen Raum eine Revolution durch.
[...]
wir können uns [heute] schlicht keinen Ort als real vorstellen, wenn er nicht einen mathematisch genau festgelegten Platz im physikalischen Raum einnimmt."

(wie immer grandios bzw. geradezu beneidenswert erhellend und populärwissenschaftlich:

Margaret Wertheim:  Die Himmelstür zum Cyberspace)

Das (kartesische bzw. descartsche) Koordinatensystem hat uns in seiner Quintessenz

• einerseits (und das ist geradezu andächtig staunend zu bewundern) die grandiose Schönheit des unendlichen Raums erschlossen

• und andererseits "metaphysisch" kastriert

(ein Zwiespalt, der überhaupt erst [an-] zu erkennen, dann auszuhalten und gegebenenfalls in einem genialen Wurf zu überwinden bzw. zu integrieren statt nur billig "esoterisch" anti- bzw. unphysikalisch zu verteufeln ist.

Von wegen "genial": für mich besteht diese Integration längst, und sie geht allemal von modernster Naturwissenschaft aus. Und dennoch: ich habe weder den Mut noch die literarische Fähigkeit, sie

[wie etwa laut Wertheim der Dichter Dante das mittelalterliche Weltbild]

auszudrücken.)

Es ist dringend zu ergänzen: solch "philosophische" bzw. wohl besser: lebensnahe Konsequenzen, d.h.

• sowohl die atemberaubende Schönheit

• als auch die abgenagte Eiseskälte

David Noble: Eiskalte Träume

des Koordinatensystems gehören unabdingbar in den Mathematikunterricht - und zwar sehr wohl auch schon einer 9. Klasse.

Dieses Koordinatensystem ist derart simpel, dass man sich doch fragen kann, was daran eigentlich - wie im Titel behauptet - genial sein soll.

Das Problem ist halt, dass das Koordinatensystem heutzutage derart (nicht nur in der [Schul-]Mathematik) allgegenwärtig ist

,

dass man sich ein Leben ohne es bzw. die Zeit vor seiner Erfindung und somit auch die Schwierigkeiten, es überhaupt erst zu finden, kaum mehr vorstellen kann.

Weil ich nirgends etwas darüber finden konnte, wie Descartes drauf gekommen ist, gehe ich , d.h. versuche halbwegs schlüssige Geschichten zu erfinden, wie Descartes drauf gekommen sein könnte.

Dazu muss man sich überlegen, worin das Geniale an diesem Koordinatensystem besteht: doch wohl darin, dass Descartes einen (per definitionem unteilbaren) Punkt (P) als Kombination aus zwei Koordinaten (z.B. 2 und 3) auffasst: ein Punkt IST zwei Koordinaten:

Nun ist ja bekannt, dass (nicht erst) Descartes sich lange mit Funktionen beschäftigt hat. Bei ihnen wird aber immer einem x ein y zugeordnet

(z.B. jedem BMW-Fahrer x sein Bauchumfang y

[und irgendwann schreibe ich dann eben doch den - das scheint mir unabdingbar wichtig: - ebenso liebevollen wie bitterbös entlarvenden Roman

"Meditationen eines BMW- bzw. Mercedes- bzw. Volvo-Fahrers beim Überholen":

die gar nicht so einfach seelisch überzeugende Quintessenz wird eine Mischung aus Potenzproblemen, technischer und sozialer Unfähigkeit sowie Leben erst im Angesicht von Mord und Selbstmord sein]),

sind also schon zwei Zahlen im Spiel. Der Punkt P ist also die Repräsentation der gesamten Zuordnung, die eben aus zwei Zahlen besteht.

Aber man wird bemerken, dass wir jetzt das Pferd von hinten aufzäumen:

• hatten wir uns erst gewundert, dass ein Punkt durch zwei Koordinaten definiert bzw. in diese aufgespalten wird,

• so müssen wir uns jetzt über die Genialität wundern, zwei Zahlen in einem Punkt zusammen zu fassen.

Was war eher:

• das Ei (das Koordinatensystem, dessen Punkte dann als Repräsentanten für Zuordnungen benutzt werden konnten),

• oder die Henne (die Zuordnungen, die dann in Punkte gefasst werden konnten)?

Man könnte auch meinen, wenn der Mensch sowieso in Länge und Breite (bei der Fläche) sowie Höhe (zusätzlich beim Raum) und des weiteren in den Kategorien vorne/hinten bzw. nah/fern denke, liege es doch nur nahe, diese rechtwinklig zu vermessen: das Koordinatensystem liege also in der Natur der Sache und sei nur noch (wie alle Mathematik?) eine mathematische Ableitung.

Das scheint aus mehreren Gründen zweifelhaft:

1. haben die Menschen ja lange Zeit gar nicht die (räumliche) Perspektive gekannt, sondern erst (nach Giotto) Ucello (1379-1475)

und Pierro della Francesca (1418-1492)

haben sie entdeckt, angewandt und systematisiert.
Immerhin Dürer (1471-1528) verwendet dann aber für seine Perspektivstudien schon (in der Mitte) ein Raster, also eine Art zweidimensionales Koordinatensystem

,

womit doch immerhin Descartes Alleinurheberschaft fraglich wird (ein Genie wird nicht dadurch geschmälert, dass andere etwas auch entdeckt haben bzw. etwas "in der Luft" lag);

(Nachtrag: Laut "Biographien bedeutender Mathematiker" von Hans Wußing und Wolfgang Arnold hat wohl eher Fermat als Descartes das [vollständige] Koordinatensystem gefunden.
Fermat schreibt:

"Die Gleichungen kann man aber bequem versinnbildlichen, wenn man die beiden unbekannten Grüßen in einem gegebenen Winkel (den wir meist gleich einem Rechten nehmen) aneinandersetzt und von der einen die Lage [Abszisse] und den einen Endpunkt [Ordinate]  angibt."

Über Descartes heißt es in o.g. Buch hingegen, dass

"[...] das von ihm benutzte Achsenpaar eben nur ein Achsenpaar, nicht aber [und das ja eben ist der eigentlich geniale Gedanke] Parallelkoordinatensystem darstellte und negative Abszissen absolut ausgeschlossen waren.)

2. ist ein Denken in (linear angeordneten) Dimensionen ja keineswegs so selbstverständlich, wie es uns scheinen mag. Spätestens deutlich wird das bei der vierten Dimension der Relativitätstheorie, nämlich der Zeit: wir sind ja auch kaum bereit und in der Lage, sie als gleichberechtigte Dimension zu empfinden, und viele Kulturen nehmen Zeit keineswegs als linear, sondern beispielsweise als zyklisch wahr.
   Vielleicht war ja die Zeit, also die vierte Dimension, überhaupt die erste:

"Man kann die Ansicht vertreten, daß es bis zum Christentum so etwas wie Zeit gar nicht gab. Das heißt, bis zu Christi Lebzeiten stellte man sich die Zeit weitgehend zyklisch vor, als regelmäßige Wiederkehr jahreszeitlicher und astronomischer Erscheinungen. Längere Zeitspannen waren gleichermaßen genau wie vage, denn sie wurden nach sorgfältig überlieferten Familiendynastien gemessen wie den weitschweifigen Genealogien im Alten Testament. Für kleine ländliche Gemeinschaften war die Erde unveränderlich, so alt wie die Sage, so alt wie die Schöpfungsmythen. Es war nicht möglich, ihr einen äußeren Zeitmaßstab anzulegen, weil es keinen gab. Diese Sicht der Zeit veränderte sich mit dem Einzug des Christentums von Grund auf. Plötzlich war Zeit kein langsamer, stetiger Kreislauf mehr, sondern wurde ein »Pfeil«, der von der Schöpfung bis zum jüngsten Gericht linear in einer einzigen Richtung verlief [mit negativen Zahlen für die Zeit vor Christus und positiven für die Zeit nach ihm]."
(James Hamilton-Peterson)

Eine eher philosophische Frage, die sich da im von mir fett gedruckten Satz andeutet, ist, ob es Dimensionen (hier die Zeit) überhaupt gibt (sie also nur entdeckt werden müssen) oder ob sie der Wirklichkeit von Menschen übergestülpt, d.h. erfunden werden.

Ein Hinweis darauf, dass es Dimensionen tatsächlich gibt, scheint mir das menschliche Innenohr mit seinen drei in der Tat senkrecht aufeinander stehenden Gehörgängen:

Könnte es also sein, dass überhaupt erst das Koordinatensystem uns eine ganz neue Wahrnehmung der Welt gelehrt hat, die es vorher so nicht gab? Ist es u.a. gewichtiger Teil jener frühneuzeitlichen "Entgrenzung des Raums ins Unendliche", da schließlich seine Koordinatenachsen ins Unendliche weisen (auf es verweisen) - und allen anderen o.g. "metaphysischen" Raum verdrängen?

Aber angenommen mal, Descartes ist von den Zuordnungen ausgegangen und hat daraus erst das Koordinatensystem entwickelt. Dann lag es noch lange nicht nahe, die Zuordnungen wie oben mit den "um die Ecke gehenden" Pfeilen zu visualisieren.

Angenommen, wir haben die quadratische Funktion vorliegen, also y = x².

Als Wertetabelle ergibt sich

Als erstes läge es wohl nahe, die Zahlen einander auf einem (bis dahin nur bekannten) Zahlenstrahl zuzuordnen, was hier nur für x = -1, x = 0 und x = 1 vorgeführt sei:

Die Zuordnungen sind da offensichtlich wenig aussagekräftig bzw. geradezu verwirrend:

• zwei Zahlen (0 bzw. 1) werden sich selbst zugeordnet, wofür probeweise ein (blauer) Pfeil mit zwei Pfeilspitzen benutzt wurde;

• zwei verschiedenen Zahlen (-1 und 1) wird dieselbe Zahl (1) zugeordnet, weshalb Pfeile (ein blauer und ein roter) sich überlagern.

Eine bessere und bei den zwei Zahlen x und y ja immerhin naheliegende Lösung wäre es schon, zwei (x- bzw. y-)Zahlenstrahlen einzuführen, die aber noch parallel zueinander liegen:

Solch eine Darstellungsweise hat immerhin schon einen Vorteil: eine der Grundeigenschaften der simpel quadratischen Funktion wird deutlich, nämlich dass (auch wenn x negativ ist) für y nur positive Werte herauskommen, also nur die positive Hälfte des y-Zahlenstrahls benötigt wird.

Dennoch bleiben entscheidende Nachteile:

• die Pfeile kreuzen sich, und wenn es einige mehr wären, gäbe es ein heilloses, unüberschaubares Durcheinander;

• wie beim ersten System mit einem Zahlenstrahl wird aus der Grafik (abgesehen davon, dass nur positive Zahlen rauskommen) keinerlei Logik der Zuordnung klar.

Mit unserem heutigen Wissen liegt es natürlich nahe, die beiden Zahlenstrahlen senkrecht zueinander anzuordnen. Aber schauen wir uns an, was dann im ersten Schritt rauskäme:

Diese Darstellungsweise hat durchaus schon einige Vorteile gegenüber den vorhergehenden:

• es kreuzen sich keine Pfeile mehr, es gibt also nicht mehr solch ein unüberschaubares Durcheinander;

• es wird ein weiteres logisches Element der quadratischen Funktion deutlich: je größer die x (genauer: ihre Beträge), desto steiler die Zuordnungspfeile. Anders gesagt: die Funktion ist fallend bzw. steigend. Aber auf welche Art sie das ist, bleibt doch noch weitgehend unklar.

Der alles entscheidende, nicht naheliegende und deshalb überhaupt erst so geniale Schritt Descartes war da, nicht so direkt, sondern um die Ecke zu denken bzw. zuzuordnen:

(Stadtplan von Manhattan/New York)

• erst hier herrscht völlige Übersichtlichkeit;

• erst hier entstehen die so wichtigen Punkte aus zwei Koordinaten, die jede einzelne Zuordnung darstellen;

• vor allem aber: erst hier entsteht (wenn man Zwischenpunkte hinzunimmt) ein Funktionsgraph, in diesem Fall eine Parabel:

• erst hier wird also grafisch-intuitiv die vollständige Logik der Zuordnung deutlich;

• erst hier wird also eine Funktion im wahrsten Sinne des Wortes anschaulich und hat mit unserer Um- und Sinnenwelt zu tun (eine Berg- und Talfahrt, Schlucht ...).

Wer - um nur ein Beispiel zu nennen - könnte sich denn unter der Funktion y = sin (x²) irgendwas vorstellen?

Ihr Funktionsgraph

liefert aber

• nicht nur überhaupt erst eine Vorstellung,

• sondern auch einen ersten Eindruck von der Schönheit, die hinter der abgenagten Formel steckt:

• und auch Anregungen zu weiteren Untersuchungen.

Und genau letzteres hat Descartes dann auch getan: "Er war  der erste Mathematiker, der eine Klassifizierung der Kurven nach den sie erzeugenden Gleichungstypen vornahm."

Ich wette, es war (auch) umgekehrt: überhaupt erst durch die Kurven (im Koordinatensystem) hat er verschiedene Gleichungstypen erkennen und klassifizieren können.

Das kartesische Koordinatensystem hat noch eine andere, eminent wichtige Eigenschaft: es ist erst mal leer, d.h. es existiert auch ohne Punkte oder Gegenstände in ihm bzw. vor ihnen (die überhaupt erst nachträglich in es reingestellt werden):

Damit aber wird der (geradezu tyrannisch) absolute und leere Raum Newtons denkbar - der für Aristoteles grauenerregend war ("horror vacui"). Aus dem restlos angefüllten Raum bei Aristoteles, der geradezu Klaustrophobie erzeugen kann, wird der weitgehend (vorweg) leere Raum Newtons, in dem man wohl eher Platzangst (Agoraphobie) bekommen kann.

Nix mehr

Der Geist des Herrn erfüllt das All
mit Sturm und Feuersgluten,
er krönt mit Jubel Berg und und Tal
er läßt die Wasser fluten.
Ganz überströmt von Glanz und Licht,
erhebt die Schöpfung ihr Gesicht,
frohlockend: Alleluja!

"Nun bin ich hier im Himmel, aber einen Gott kann ich nicht sehen."
(Jurij Gagarin, erster russischer Kosmonaut)

Der nächste Schritt ist dann, dass der Ursprung des Koordinatensystems beliebig legbar ist - und somit der Mensch aus der Mitte des Universums katapultiert wird.

Bzw. er wird dadurch Herr aller Perspektiven.

Um die Logik des Koordinatensystems sowie  von Funktionsgraphen (z.B., ob sie steigen oder fallen bzw. eine Rechts- oder Linkskurve bilden) zu verstehen, muss man sie regelrecht (und zwar ausschließlich von links nach rechts) "gehen"

In der Tat, man kann und sollte Innermathematik mit alltäglichen Erfahrungen und Geschichten verbinden [was nicht mit "Anwendungsaufgaben" zu verwechseln ist], SchülerInnen sollten ein Gespür für Funktionsgraphen bekommen; z.B. auch dafür, dass Wendepunkte im Leben wichtiger als Minima oder Maxima sind, weil sie eben eine Trendwende markieren:

• ein Wendepunkt deutet schon vor dem nächsten Maximum an, dass ein Minimum folgen wird - baut also blindem Optimismus vor bzw. besagt zumindest, dass man beim Maximum nicht hochmütig werden, sondern aus ihm einen Sattelpunkt zu machen versuchen sollte;

• oder er deutet schon vor dem nächsten Minimum an, dass auch wieder gute Tage kommen können - beugt also Fatalismus und Resignation bzw. der Katastrophe als selbsterfüllender Prophezeiung vor).

Vgl. auch .