eine Lampe	Anschauung / Anwendung oder	für die Mathematik
	... auf dass den Mathematikern ein Licht aufgehe

In meine Essays zum Thema habe ich mehrfach Überlegungen zum Unterschied "Anschauung / Anwendung" eingestreut.

Zwei Beispiele:

• aus dem Text :

• aus dem Text :

Ein konkretes Beispiel für

"die ganze Welt [...] ist geeignet, wenn nicht geradezu dazu geschaffen, die Mathematik zu veranschaulichen" und " die Wirklichkeit ist [...] nur Mittel zum Zweck der Veranschaulichung der Mathematik. "

ist die Lampe , die letztens über einem Tisch in einem Restaurant schwebte, in dem meine Gemahlin und ich gespiesen haben.  

Bekanntlich lässt sich über Geschmack nicht streiten

(bzw. für den [ein-]gebildeten Lateiner "De gustibus non est disputandum"),

 "Wenn Design ist, muss man [...] sagen: »Die Lampen leiden am meisten darunter.«"

In

Lampenläden

wird mir durch all die dort ausgestellten Geschmacklosigkeiten immer ganz trostlos zumute, und dann wünsche ich mir, dass 

(wie auch in Einrichtungs-Läden für die armen sowie dezent protzenden reichen Leute ) 

ein Bulldozer all den -Wohlstandsmüll in einen Müllcontainer schiebt

oder (besser noch) die Lampen-Fabriken ihren Krempel ohne Umweg über die Kunden direkt auf den Müllplatz fahren.

Die Lampe erfüllt ihren gänzlich unmathematischen Zweck, den darunter stehenden Tisch auszuleuchten, aber

• dazu würde ausreichen (?)

• und ist somit das ganze darunter baumelnde unnötig .

Nun interessiert mich hier aber

• gerade nicht , also die eigentliche Lampe,
• sondern ausgerechnet das Gedöns  "unten rum":
  

(Der Fairness halber sei hier aber kurz ein- und dann dennoch der Mathematik zuliebe schleunigst wieder beiseite geschoben, dass vielleicht

• nicht nur [scheußliche] "Deko" ist   ,
• sondern sehr wohl einen "handgreiflichen" Zweck erfüllt, nämlich das Licht von gleichmäßig[er] auf den darunter stehenden Tisch zu verteilen

[ als moderne Variante von ?].)

Aber zurück dazu, dass "das Gedöns [...] überhaupt erst und nur mathematisch »Sinn macht«".

Damit möchte ich allerdings nicht behaupten, dass der Designer, der die Lampe verbrochen hat

• dabei Mathematik benutzt
• und eine mathematische Anregung bezweckt hat.

Wie so oft in der Wissenschaft:

"[...]  [nur] wer da [schon] hat, dem wird gegeben werden [...]"
(Matthäus-Evangeliums 25,29)

• Allgemein: Neues sieht in der Wissenschaft nur, wer sich schon lange mit einem Themenkomplex abgemüht und einiges Vorwissen hat

(aber noch nicht betriebsblind ist); 

• im vorliegenden konkreten Fall : das Neue, um das es mir hier geht, kann nur erkennen, wer

• die (zweidimensionale) "Gaußsche Normalverteilung"  und die Gaußsche
• und auch das (ebenso zweidimensionale) "Galtonbrett"  kennt

(oder gar wie ich schon eines gebaut hat:  ; vgl.   ).

Weil ich aber derart vorbelastet bin, dachte ich, als ich mich dem Tisch näherte und die Lampe deshalb erstmal zweidimensional von vorne sah , an das dreieckige Oberteil des Galtonbretts.

Und die Glaskugeln erinnerten mich an fallende Regentropfen und diese wiederum an die Kugeln, die im Galtonbrett hinunter rieseln:

.

Als ich mich dann aber hinsetzte und die Lampe von schräg unten sah, erkannte ich, dass sie

(im Gegensatz zum Galtonbrett)

dreidimensional war, nämlich eine Pyramide mit rechteckiger Grundfläche:

(vgl. eine Dunstabzugshaube:  )

Nun hat aber eine Pyramide, die auf sich hält, ein quadratische Grundfläche

,

und deshalb stelle ich mir einfach vor, die Lampe hätte ebenfalls eine quadratische Grundfläche:

(Pippi Langstrumpf: "ich mach mir die Welt / widewide wie sie mir gefällt"; )

Zusammen mit dem Tisch unter der Lampe ergibt sich

.

In dieses Gebilde lege ich nun eine orange und eine lila Querschnitts-Fläche:

 Damit erhalten wir die beiden Flächen

                .

Nun ist die lila Fläche allerdings perspektivisch verzerrt - und hat in Wirklichkeit dieselbe Form wie die orange Fläche:

Weil diese beiden Flächen zweidimensional sind, können wir da Gaußkurven reinlegen (s.o.):

Um das wieder in einsetzen zu können, müssen wir in die perspektivische Verzerrung (rück-)verwandeln.

und in die Lampendarstellung eingesetzt ergeben .

Spätestens an erkennt man aber vielleicht, dass die vollständig dreidimensionale Glockenfläche so aussieht:

(... womit aus dem abgenagten zweidimensionalen Glockenquerschnitteine ganze dreidimensionale Glocke geworden ist:

Friedrich Schiller:

Die Glocke

Fest gemauert in der Erden
Steht die Form, aus Lehm gebrannt.
Heute muss die Glocke werden
Frisch Gesellen, seid zur Hand.
Von der Stirne heiß
Rinnen muss der Schweiß,
Soll das Werk den Meister loben,
Doch der Segen kommt von oben.

[...]

In meinen Augen sieht das Ergebnis allerdings eher aus wie ein  Hügel [nur steiler] oder wie das Dach dieses Hotels in Shenzhen [China]: )

Die Erkenntnis, dass in der Lampe die "Gaußfläche" steckt, ist mir allerdings beim Ansehen der Lampe

• sofort gekommen,
• also nicht

(wie aus didaktischen Gründen oben)

auf langen Umwegen.

Aber das ändert nichts daran, dass ich überhaupt erst durch die Lampe auf die mir bis dahin unbekannte dreidimensionale "Gaußfläche" gekommen bin:

Es war also nicht so, dass die Lampe

• eine schon vorher fertige Erkenntnis

• nur nachträglich (für Laien oder auch mich selbst) illustrierte:

Die Lampe war also

(für mich notwendige)

• Voraussetzung

• und nicht bloß Folge.

Die Lampe hat also erheblich mehr geleistet als das, was bereits oben beschrieben wurde:

• aus dem Text :

• aus dem Text :

Es geht in diesem Essay

• "nur" um den dreidimensionalen Graphen der Normalverteilung,

• nicht um die zugehörige algebraische Funktionsgleichung

(die für Schulen auch viel zu kompliziert wäre),

• und auch nicht um deren innermathematische Bedeutung .

Die Lampe hat mich nicht nur zu geführt, sondern zeigt auch, wie man eine dreidimensionale Version des Galtonbretts bauen könnte: man nehme einen

Perlenvorhang,

wie er oft vor Türöffnungen gehängt wird

(die grauen Kugeln entsprechen den Glaskugeln in der Lampe ),

und montiere dahinter versetzt weitere Perlenvorhänge:

Und dann lasse man von oben Kugeln durch dieses Gitternetz rieseln. Sie werden sich mit großer Wahrscheinlichkeit unten annähernd so anhäufen.

Leider ist die Lampe aber nur ein "halbguter" Tipp:  eine in dem Gitter herabfallende Kugel kann nicht exakt von oben auf eine nächsttiefere Gitterkugel fallen, weil da der Faden bzw. die Stange im Weg ist Dadurch sind die weiteren Fallrichtungen aber nicht gleichwahrscheinlich.

(Nebenbei: erinnert mich doch sehr an

Conrad Ferdinand Meyer:

Der römische Brunnen

Aufsteigt der Strahl und fallend gießt
Er voll der Marmorschale Rund,
Die, sich verschleiernd, überfließt
In einer zweiten Schale Grund;
Die zweite gibt, sie wird zu reich,
Der dritten wallend ihre Flut,
Und jede nimmt und gibt zugleich
Und strömt und ruht.

Vgl. .)

Da sich ein senkrechtes Gitter als ungünstig erwiesen hat, habe ich überlegt, ob ein waagerechtes Gitter besser geeignet wäre.

Man nehme also schwarze Gitter und rote Gitter und staple sie abwechselnd derart übereinander, dass die Knotenpunkte der roten Gitter immer (von oben gesehen) genau in der Mitte der schwarzen Quadrate liegen:

Wieder schräg von der Seite gesehen ergibt sich dann

.

Ein erstes mit gebautes Modell sieht dann so aus

(... wobei alle Teile weggelassen wurden, durch die die Kugeln sowieso nicht fallen können, sich also die Pyramidenform ergibt):

Wenn man dieses Modell von der Seite ansieht , erkennt man, dass

• die Ebenen nur außen durch die gelben Streben verbunden sind,
• also im Gegensatz zum Türvorhang (s.o.) keine senkrechten Stützen mehr stören.

Um nun herauszufinden, wie die von oben herunterrieselnden Kugeln fallen, schauen wir uns das Modell von oben an

und dann nacheinander die Ebenen :

• Ebene 1 und Ebene 2 :

• Erst fällt eine Kugel durch das Loch in der Ebene 1

Statt der zwei möglichen Fallrichtungen bei der Bi(= zwei)nomialverteilung gibt es hier also vier mögliche Fallrichtungen, so dass man auch von einer "Tetra(= vier)nomialverteilung" sprechen könnte. 

• Ebene 2 und Ebene 3 : 
• erste Möglichkeit:
• die Kugel ist in Ebene 2 durch das violette Loch gefallen:

• Dann fällt die Kugel in der Ebene 3 durch das Loch oder oder oder :

• zweite Möglichkeit:
• die Kugel ist in Ebene 2 durch das olive Loch gefallen:

• Dann fällt die Kugel in der Ebene 3 durch das Loch oder oder oder :

 

• dritte Möglichkeit:
• die Kugel ist in Ebene 2 durch das hellblaue Loch gefallen:

• Dann fällt die Kugel in der Ebene 3 durch das Loch oder oder oder :

 

• vierte Möglichkeit:
• die Kugel ist in Ebene 2 durch das orange Loch gefallen:

• Dann fällt die Kugel in der Ebene 3 durch das Loch oder oder oder :

Schauen wir uns nun noch an, wie in Ebene 3 die Kugeln durch die Löcher  A  bis  I  fallen: :

• Loch   A  wird nur in dem (einem) Fall erreicht:

;

• Loch   B  wird in den Fällen und erreicht:

;

• Loch   C  wird nur in dem (einem) Fall erreicht:

;

• Loch   D  wird in den Fällen und erreicht:

;

• Loch   E  wird in den Fällen und und und erreicht:
  

;

• Loch   F  wird in den Fällen und erreicht:

;

• Loch   G  wird nur in dem (einem) Fall  erreicht:

;

• Loch   H  wird in den Fällen und erreicht:

• Loch  I  wird nur in dem (einem) Fall erreicht:

.

Lange Rede, kurzer Sinn: insgesamt erhalten wir

.

1. ist

2. : je weiter Löcher vom Mittelpunkt entfernt sind, desto kleiner ist die Zahl in den Löchern: ;
3. tauchen die Zahlen , = 2 •  und = 2 • auf, wird also immer verdoppelt.

• wie fällt eine Kugel in das Loch ?:

• Ebene 1 :
  
  
• Ebene 2 :
  
  
• Ebene 3 :
  
  
• Kurz: bzw. .
  

Entsprechend gilt für die anderen  -Löcher:

, , .

Eine Kugel kann also nur auf (eine) Art in eines der  -Löcher fallen, nämlich indem sie zwei Mal in dieselbe Richtung fällt.

• Wie fällt eine Kugel in das Loch ?:

• Ebene 1 :
  
  
• Ebene 2 : oder
  
  
• Ebene 3 : oder
  
  
• Kurz: oder bzw. oder .

Entsprechend gilt für die anderen  -Löcher:

oder , oder   , oder   .

Eine Kugel kann auf Arten in eines der  -Löcher fallen, nämlich indem sie

• erst in eine beliebige Richtung
• und danach in eine dazu senkrechte Richtung fällt.

• Wie gelangt eine Kugel in das Loch ?:

• Ebene 1 :
  
  
• Ebene 2 : oder oder oder
  
  
  
• Ebene 3 : oder oder oder
  
  
• Kurz:

oder oder oder

bzw. oder  oder oder .

Eine Kugel kann also auf Arten in das (einzige) -Loch fallen, nämlich

• indem sie erst in eine beliebige Richtung
• und danach rückwärts in die Gegenrichtung fällt.

• zwei Wege in ein Loch führen, landen Kugeln darin mit doppelter Wahrscheinlichkeit wie in einem Loch ,

• vier Wege in ein Loch führen, landen Kugeln darin mit vierfacher Wahrscheinlichkeit wie in einem Loch .

.