2023: der PISA-Katastrophe zweiter Teil
oder
warum es NICHT ums RECHNEN geht

Schadenfreude ist die schönste Freude:

Und es gab auch inhaltliche Probleme:

ist (jetzt im Jahr 2023) wieder mal voll am Arsch:

Weitere nationale Demütigungen:

   .

*

Chuck Norris ...

Last but not least:

1. der PISA-"Schock" im Jahr 2001

(vgl. der PISA-Komplex );

und als sich Deutschland bei den PISA-Tests im Laufe der Jahre langsam berappelt hatte, folgte

2. nun (im Dezember 2023) der PISA-"Katastrophe" zweiter Teil:

Das Land der Dichter und Denker ist doch arg auf den Hund gekommen.

Könnte es sein, dass Deutschland u.a. deshalb  immer so grottenschlecht bei PISA abschneidet, weil die deutschen Schüler

(im Gegensatz zu denen der in PISA-Tests besseren Nationen)

die PISA-Tests

(deren Ergebnisse ja nicht in die Schulnoten eingehen)

ohne jeden Ehrgeiz runterreißen und ihre Kreuze sogar teilweise aus Jux und Dollerei zufällig setzen?

Dann wären die deutschen Schüler immerhin schlauer als "die" deutsche Öffentlichkeit, die nach jedem vergeigten PISA-Test verlässlich in Krokodilstränen ausbricht.

In PISA-Tests werden immer drei Bereiche abgeprüft:

1. natürlich die Mathematik!!!,

2. Naturwissenschaften,

3. was eigentlich selbstverständlich sein sollte: Lesefähigkeit.

(am besten als Lese- und Verständnisfähigkeiten bei Aufgaben, in denen die Mathematik auf alles Wichtige im Leben, d.h. auf Naturwissenschaften und Technik / Informatik

[die Heilige Vierfaltigkeit ]

angewandt wird;

ich vermute nämlich, dass viele deutsche Schüler die diesjährigen PISA-Matheaufgaben gar nicht verstanden haben und deshalb auch nicht weiterrechnen [?] konnten; s.u.).

Mit der Beschränkung auf die drei Bereiche ist schon klar, dass bei PISA ein höchst einseitiger Bildungsbegriff angewandt wird.

Jeder PISA-Test hat einen besonderen Schwerpunkt, und diesmal war es zum dritten Mal die Königin aller Wissenschaften, also die Mathematik:

• "Mathematik ist ein Kernfach, es gilt als Indikator für die schulische Leistungsfähigkeit insgesamt."

• "[...] Mathe, das zentralste aller Kernfächer [...]"
  (Quelle: )

So gesehen gibt es folgende Arten von Schulfächern:

1. Nebenfächer

(die, wie der Name schon sagt, nebensächlich sind und die man also problemlos abschaffen könnte; also z.B. Sport, Kunst, Musik und Geschichte und sowieso Philosophie; man könnte auch sagen: der Schrott oder der Pöbel unter den Schulfächern),

2. Hauptfächer

(wie z.B. Englisch, Französisch, Deutsch und Mathematik),

und da

• nebensächliche (Pseudo-)Hauptfächer

(wie z.B. Englisch [!?] und Französisch),

(die von Schülern in der Oberstufe grundsätzlich nicht abgewählt werden können, nämlich die beiden von mir unterrichteten Fächer Deutsch und Mathematik; mein Gott, bin ich wichtig!),

oder

oder

"Mathematik ist das Alphabet, mit dessen Hilfe Gott das Universum beschrieben hat."
(Galileo Galilei)

oder

"Die Geometrie [und Mathematik] gab es schon vor der Erschaffung der Welt. Sie ist ewig wie der Geist Gottes."
(Johannes Kepler)

"Ich [die Mathematik] bin 6 m groß und alles ist wichtig
Ich bin 9 m groß und alles ist mehr als wichtig
Ich bin 12 m groß und alles ist unvorstellbar"
(Einstürzende Neubauten: Yü-Gung)

Das ist doch schlichtweg arrogant, anmaßend, machohaft - und angesichts der Fülle der Welt herzhaft naiv!

Also bittschön ein bisschen mehr Demut!:

"Auch wenn ich es für unwahrscheinlich halte, ziehe ich die Möglichkeit in Betracht, dass außerirdische Besucher, denen wir irgendwann in der Zukunft stolz unsere Gleichungen zeigen, nur höflich lächeln und uns sagen, sie hätten ebenfalls mit der Mathematik angefangen, dann aber die wahre Sprache der Realität entdeckt."
(Brian Greene)  

Der "Spiegel" titelte nach der Katastrophe prompt:

1. : das oberlehrerhafte hätte ich natürlich weggelassen: es ist unnötig, den Leser mit der Nase auf den Fehler zu stoßen.

2. zum Gesamtsatz :

(vgl. ):

mit dem "Warum" wird eine Frage angedeutet

(also "Warum müssen wir wieder rechnen lernen?"; nicht zu verwechseln mit der offenen und damit demokratischen Frage "Müssen wir wieder rechnen lernen?"),

die dann aber hinterhältig in eine Antwort umgebogen wird: "Wir verklickern euch jetzt mal, warum wir wieder rechnen lernen müssen."

3. müssen wir lernen, was wir schon mal konnten, bzw. wir müssen uns wieder auf die urdeutsche Tugend des Rechnens rückbesinnen: .

4. zum :

da haben nicht etwa nur "die" deutschen Schüler versagt, sondern alle inkl. der erwachsenen Redakteure des "Spiegel" und dessen Leser. Bzw. das Versagen der Schüler wird (wegen einer deutschen Kollektivschuld?) mit der nationalen Kollektivstrafe geahndet.

Müssen aber wir alle wieder rechnen lernen, um als Eltern unseren dummen Kindern Nachhilfe im Rechnen zu geben, also das nachzuholen, was die Schule versäumt hat?

Man stelle sich mal vor, dass (= alle Deutschen) ab sofort abends in der Volkshochschule Rechnen büffeln, um Deutschland nach der PISA-Katastrophe   wieder aufzubauen , und am Ende stellt sich dann heraus, dass gar nicht das Rechnen das Problem war.

Und was haben die Leute bloß?: immerhin sind doch trennungsweltmeister und damit die Speerspitze der Moral!

5. zum :

aus dem, was bei PISA noch "Mathematik" hieß, ist im "Spiegel" simples geworden

(vgl. ).

Dass Mathematik mit Rechnen gleichgesetzt wird, unterläuft dem "Spiegel" nicht nur ein Mal:

(vgl.

Vielleicht ist der "Spiegel" aber gar nicht so blöd, die Mathematik mit schnödem Rechnen zu verwechseln

(Mathematik = Rechnen),

sondern meint er dem PISA-Test entnehmen zu können, dass die zentrale Fehlerquelle deutscher Schüler

• nicht in der sonstigen (über das Rechnen hinausgehenden) Mathematik,
• sondern im mathematischen Teilgebiet des Rechnens liegt:

wenn die deutschen Schüler besser rechnen könnten, würden sie in PISA-Tests erheblich besser abschneiden.

Ich konnte bislang keine detaillierten Untersuchungen dazu finden,

1. : warum etwa die Hälfte aller an PISA teilnehmenden Staaten besser abgeschnitten hat, und
2. : woran genau so viele deutsche Schüler im PISA-Mathe-Test gescheitert sind.

Zu 1., also der Frage, warum etwa die Hälfte aller an PISA teilnehmenden Staaten besser abgeschnitten hat:

Deutschland liegt etwa in der Mitte der teilnehmenden Staaten und immer noch knapp über dem OECD-Durchschnitt.

(Letzteres liegt allerdings nur daran, dass die "untersten" Staaten [Griechenland bis Kolumbien] so heillos versagt haben;

bemerkenswert ist aber doch auch, dass ein Großteil der Staaten [inkl. Deutschland] etwa gleichauf bei 460 bis 490 Punkten liegt [die Abweichungen da also bei lächerlichen 3 % liegen] und es nur oben und unten ganz wenige Ausreißer [Streber bzw. Versager] gibt; warum also die ganze Aufregung?):

(Nebenbei:

[weiß aber nicht mehr, wo]

dass Deutschland im neuesten PISA-Test ohne Berücksichtigung der

[was immer man darunter versteht:]

"Migranten" um sechs Plätze besser oder sogar auf Platz sechs stünde. Wenn das stimmen würde, hieße das aber doch,

[außer im Hinblick auf die schulische Bildung von "Migranten"-Kindern]

kein besonders großes Schulproblem.

Was aus dem schulischen "Migranten"-Problem folgen müsste:

• Rechtsradikale haben da ein ebenso einfaches wie brutales Rezept: Vertreibung aller "Nicht-Bio-Deutschen" [vgl. ];
• eher geeignet wäre wohl:

Man nennt das wohl "Gesamtschule".)

Dass Deutschland aber noch mit einem blauen Auge davongekommen ist, reicht dem ebenso gebeutelten wie ehrgeizigen deutschen Selbstbewusstseins natürlich nicht.

Bislang sind mir nur aus dem bereits oben genannten "Spiegel"-Artikel einige wenige, arg subjektive Darstellungen von Austauschschülern dazu bekannt, weshalb andere Staaten besser bei PISA abgeschnitten haben:

• Zu Estland, Nr. 3 der Liste:
  • "Ich hatte [auch in der Heimat Deutschland] nie Schwierigkeiten in Mathe, auch den Stoff in Estland fand ich nicht anspruchsvoller. Aber pädagogisch war das echt ein Unterschied. Die Beziehung zwischen Schülern und Lehrern war viel freundlicher, mehr auf Augenhöhe als an meiner Schule in Göttingen [...]. Die Mathelehrerin hat sich viel Zeit für uns genommen. Wenn man ein Thema nicht verstanden hat, hat sie angeboten, sich vor dem Schulbeginn zu treffen."
  • "Die Schule war top modern und sehr gut ausgestattet. In jeder Klasse gab es zwei Whiteboards, und die Lehrer wussten, wie man sie einsetzt. Die Klassenräume waren größer und gemütlich eingerichtet. In der Fünfminutenpause konnte man sich auf den Sitzsäcken echt mal entspannen. Ich glaube, das wirkt sich auch auf das Lernen aus."
• Zu Irland, Nr. 7 der Liste:
  • "In Irland hatten wir jeden Tag Mathe und haben die Grundlagen so besser stärken können."
  • "Wir haben zwischendurch immer wieder Tests geschrieben, die aber nicht bewertet wurden. Der Lehrer wollte nur sehen, wo wir noch Lücken haben."
  • "Der Unterricht war generell sehr anwendungsbezogen, wir mussten beispielsweise ausrechnen, wie viel Steuern wir bei einem gewissen Einkommen zahlen müssen."
  • "An meiner Schule in Hamburg gibt es in Mathe nur wenig Gruppenarbeit, oft habe ich das Gefühl, es melden sich nur die leistungsstarken Schüler. Die anderen steigen aus, wenn sie etwas nicht verstehen. Wenn die Eltern es ihnen dann nicht zu Hause erklären können, sind sie abgehängt."

Eine halbwegs einheitliche Linie (ein Patentrezept) erkenne ich da aber nicht.

Zu 2., also der Frage, woran genau so viele deutsche Schüler im PISA-Mathe-Test gescheitert sind:

wie bereits oben gesagt, habe ich bislang auch dazu nichts Genaueres finden können.

Aber immerhin hat der "Spiegel" in dem Artikel   die (alle?) neuen PISA-Mathematikaufgaben veröffentlicht, und vielleicht lassen sich anhand dieser ja doch Vermutungen anstellen, weshalb "die" deutschen Schüler so schändlich versagt habe

(wegen mangelnder Rechenfähigkeiten?).

Zur an die erwachsenen "Spiegel"-Leser gerichtete Frage : "ein 15-Jähriger" unterstellt, dass alle 15-jährigen deutschen Schüler splitterfaserdumm sind, und es kann ja doch wohl nicht so schwer sein, schlauer als die immer schon spitzendämliche "Jugend von heute" zu sein; der Test ist natürlich höchst begrenzt aussagekräftig: mag ja sein, dass der eine oder andere "Spiegel"-Leser tatsächlich besser "rechnen" kann als "die" dummen 15-Jährigen, aber das beweist ja noch lange nicht, dass alle oder zumindest doch die meisten Erwachsenen schlauer als die notorische "Jugend von heute" sind; ich vermute aber, dass die allermeisten Erwachsenen (wenn sie nicht gerade tagtäglich in ihrem Beruf mit Mathematik zu tun haben, also gut durchtrainiert sind) bei den PISA-Aufgaben noch erheblich dümmer dastehen würden als die "Jugend von heute"; vielleicht ist gerade das aber der verborgene Zweck der "Spiegel"-Umfrage : den Lesern genüsslich unter die Nase zu reiben, dass sie mit irgendwelchen klischeemäßigen Negativ-Aussagen über "die Jugend von heute" bittschön ganz still sein sollten: "Glashaus / Steine". (Vgl. die drei Arbeit"geber", die über die mathematische Ignoranz heutiger Bewerber schimpften ["die können ja nichtmal mehr den Dreisatz und Prozentrechnen"] - und dann selbst bei einer simplen Prozentrechenaufgabe scheiterten:  . Soviel zum Thema .)

Hier nun alle Aufgaben aus    

(ohne die vom "Spiegel" mitgelieferten richtigen Ergebnisse):

(Nebenbei ein [zugegeben: nicht sonderlich wichtiger] Einwand: weil die Aufgabenstellungen nicht immer Fragen, sondern manchmal Behauptungen sind, ist es ungünstig, die Aufgaben in den Überschriften als "Fragen" zu bezeichnen.)

Dazu einige Anmerkungen:

1. sind die Fragen 1 - 23 nicht vollständig, sondern (wie der "Spiegel" ja ausdrücklich sagt) nur Beispiele aus dem Original-PISA-Test. Ich habe kurz nach der neuesten PISA-Katastrophe allerdings nirgends die vollständige Liste der Aufgaben finden können - und hätte auch keine Lust, unten noch mehr als im die "Spiegel" veröffentlichten 23 Aufgaben durchzuackern

(weshalb ich im Folgenden keine endgültigen Aussagen darüber machen kann, was im Gesamt-PISA-Test vorkam - und was nicht [z.B. Rechnen].

Und doch: wer, zum Teufel, kommt denn auf die durchgeknallte Idee, Schüler in einem Test durch sogar mehr als 23 Aufgaben zu hetzen? Ob ein Schüler was kann, ist doch auch mit zehn [kurzen] Aufgaben herauszufinden. Vgl. mündliche Abiturprüfungen, bei denen oft schon nach fünf Minuten klar ist, ob ein Schüler was kann - oder nicht.)

2. gab es in den Original-PISA-Tests keine Arbeitsblätter, sondern wurden von den Schülern iPads benutzt, was den Vorteil hatte, dass da "Taschenrechner" (s.u.) integriert waren, so dass die Schüler eben gerade NICHT selbst rechnen mussten;
3. : was im "Spiegel" so aussieht , sah im Original-PISA-Test hübscher aus und hatte auch ein übersichtlicheres Layout: .

("Die Schönheit der Potenzen" hört sich aber doch arg pompös an. Ich bezweifle, dass die Schüler das [zudem in der Prüfungssituation] nachvollziehen konnten.)

Die 23 Aufgaben ("Fragen") lassen sich in fünf Gruppen aufteilen:

1. Frage 1 - 3: ,
   
   
2. Frage 4 - 7: ,
   
   
3. Frage 8 - 15: ,
   
   
4. Frage 16 - 20:

		"Auch die »Penrose-Parkettierung« entsprang der Leidenschaft für Geometrie. Offensichtlich bereitete es [dem Mathematiker und Nobelpreisträger] Penrose großes Vergnügen, Kacheln zu konzipieren, die sich, nach strengen Regeln zu einem Muster zusammengesetzt, doch allen Regeln zu widersetzen scheinen. Als er seine eigenartigen regelmäßig-unregelmäßigen Strukturen austüftelte, hatte Penrose die [außermathematische] Wirklichkeit nicht im Sinn. Wenig später wurden seine »Quasikristalle« trotzdem höchst real entdeckt, die Fachwelt feierte das als Sensation." (Quelle: )

5. Frage 21 - 23: .

		Es sind natürlich nicht ranzige (stilvolle!) Steinzeitkopfhörer , sondern "In-Ears Kopfhörer" (besser mit keinem Bindestrich oder zwei Bindestrichen) aus der unfassbar authentischen Lebenswelt der Schüler (obwohl nur alte Säcke den Plural "In-Ears", junge Leute hingegen immer den Singular "In-Ear" benutzen). Aber Schüler sind wohl kaum so blöd, sich durch solch aktualitätsgeile Anbiederung ködern zu lassen (und bei der Mathematik der Aufgaben hilft der "In-Ears Kopfhörer" auch nicht). Fragt sich nur, wie in die Aufgaben der eher aus der Generation der Prüfer als der Geprüften stammende Name "Andrea" reingerutscht ist: ist den Aufgabenstellern da nur versehentlich ein entlarvender Widerspruch zum top-modernen "In-Ears Kopfhörer" unterlaufen oder wollten sie mit dem bewusst antiquierten Namen "Andrea" vermeiden, dass Schülerinnen sich angesprochen (diskriminiert) fühlen könnten (obwohl der Kauf von [zudem top-modernen] Kopfhörern ja nicht gerade peinlich ist)?

^{Der "Spiegel" liefert bei jeder Frage auch mit, ob eine Antwort richtig oder falsch ist. Aber es wird kaum jemals verständlich erklärt, warum eine Antwort richtig oder falsch ist.}

(Beispielsweise erhält man bei Frage 16 nur die Antworten   oder . Bei letzterem wird also nur gezeigt, was richtig ist, aber nicht, warum das so ist.)

^{Deshalb versuche ich im Folgenden immer verständliche Erklärungen}

(teilweise angereichert mit Aufgabenkritik und pädagogischen Überlegungen).

Zu Frage 1 - 3: :

(Nebenbei: bunte Dreiecke werden nicht [nur] "gezeichnet", sondern [auch] [aus-]gemalt.

Ich halte es zudem für hilfreich, dass Ahmed die Dreiecke weder zeichnet noch malt, sondern materielle Dreiecke anmalt und zusammenlegt, also handwerklich aktiv wird.)

• Anzahl der blauen Dreiecke = 6
• Anzahl der roten Dreiecke = 10

(... woran im Hinblick auf die nachfolgenden Aufgaben immerhin schon bemerkenswert ist, dass es weniger blaue als rote Dreiecke gibt)

• Gesamtzahl der Dreiecke = 6 + 10 = 16
• relativer Anteil der blauen Dreiecke an allen Dreiecken =
• Umrechnen des Bruchs in die entsprechende Dezimalzahl :   = 0,375
• prozentualer Anteil der blauen Dreiecke an allen Dreiecken = 37,5 % ⇒ Antwort

Genau genommen müssen die Schüler aber

• eben NICHT (aus-),
• sondern können das dem "Taschenrechner" überlassen.

Sie müssen "nur" wissen, was zu ist, nämlich 6 : 16 .

Man muss hier also

• NICHT können,
• sondern nur jemanden (einen Rechenknecht ) kennen, der kann - und diesem sagen, was er soll (nämlich 6 : 16 ).
•  

Vermutlich wurde hier die 5. Reihe bewusst nicht eingezeichnet, damit die Schüler sie sich überhaupt erst denken müssen. Trotzdem hätte ich es nett gefunden, wenn unter der vierten Reihe Platz für die 5. Reihe gelassen hätten, damit die Schüler letztere auch zeichnen könnten:

(womit ein Nachteil von Tablets deutlich wird: man kann in vielen "Apps" nicht selbst zeichnen; und die Schüler sind immer gut beraten, wenn sie Buntstifte dabei haben).

Damit erhöht sich

• die Gesamtzahl der blauen Dreiecke um 4 auf 10
• und die Zahl aller Dreiecke um 9 auf 25

und ergibt sich analog zur Frage 1 ein prozentualer Anteil von .

Also nichts Neues unter der Sonne, außer ganz OHNE , dass die 5. Reihe selbst gedacht bzw. gezeichnet werden muss.

Bzw. neu ist nur, dass der prozentuale Anteil von 37,5 % auf 40 % gestiegen ist.

... womit sich fast automatisch die (im eigentlichen Sinne mathematische) Frage stellt, was passiert, wenn immer mehr Reihen (also eine 6., 7., 8., ... 100., 1000., 100000... Reihe) hinzu kommen:

• steigt der prozentuale Anteil der blauen Dreiecke an allen Dreiecken immer weiter bis nahe an 100 %
• oder gibt es eine andere obere Grenze für den Anteil der blauen Dreiecke (vgl. Frage 3)?
  
  
•  

Wie bereits gesagt, beginnt hier überhaupt erst die eigentliche Mathematik, und zwar OHNE .

Wenn die Schüler nicht gerade ohne jede mathematische Überlegung einfach auf gut Glück antworten (hier mit einer Trefferwahrscheinlichkeit von immerhin 50 %), bleibt ihnen gar nichts anderes, als ein allgemeines Gesetz zu finden, wie die Reihen aufgebaut sind.

(Einige Schüler haben solch ein Gesetz vielleicht schon bei Frage 2 entdeckt.)

Ein mögliches Vorgehen

(eine Aufgabe ist besonders gelungen, wenn es verschiedene [auch verschieden schwierige] Wege zum [selben] Glück gibt): 

Es gibt also in jeder Reihe ein blaues Dreieck weniger, als es rote Dreiecke gibt. Deshalb liegt der prozentuale Anteil der blauen Dreiecke an allen Dreiecken garantiert unter 50 % und ist die Antwort auf Ahmeds Vermutung also .

Ich habe die Aufgabe für mich allerdings anders und mit erheblich weniger Zeitaufwand gelöst, indem ich mir vor meinem inneren Auge eine Fortsetzung des Musters nach unten vorgestellt habe:

Das sieht auf den ersten Blick danach aus, dass gleich viele blaue und rote Dreiecke auftreten (50 % blaue und 50 % rote) , und deshalb scheint richtig zu sein.

Oder zwar weniger anschaulich und dennoch noch einfacher: da sich die blauen und die roten Dreiecke in den Zeilen streng abwechseln, sind in unteren und damit immer längeren Zeilen etwa gleich viele blaue und rote Dreiecke vorhanden (50 % blaue und 50 % rote), weshalb wieder richtig zu sein scheint.

Zu Frage 4 - 7: :

Die Potenzen werden wohlgemerkt vorher nochmal extra erklärt: .

Schauen wir uns vorweg mal die in den Aufgaben verwendeten Potenzen an:

• in Frage 5 kommt 8^10 = 8¹⁰ = 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 vor. Wenn die Schüler das selbst (mit großer Fehleranfälligkeit) aus sollten, würde das viel zu lange für den PISA-Test dauern. Mit ergibt sich  1 073 741 824 , also eine schon ziemlich große (und nichtssagende) Zahl;

• in Frage 4 kommen

•         8^15 = 8¹⁵ = 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8

• und 8^16 = 8¹⁶ = 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8

vor.

Das kann nun wahrhaft kein Schüler mehr halbwegs zügig OHNE  aus.

Wenn man nun aber 8¹⁵ bzw. 8¹⁶ in den Taschenrechner eingibt, zeigt dieser als (Näherungs-)Ergebnisse 3,5184372088832 • 10¹³ bzw.  2,814749767107 • 10¹⁴ an, was erstmal interpretiert werden müsste als 35 184 372 088 832 bzw. 281 474 976 710 700, also zwei inzwischen gigantisch große und jetzt erst recht nichtssagende (und gerundete) Zahlen.

• vollends gigantisch wird's bei Frage 6 mit 5⁴³ ≈  1136868377216160000000000000000.

Man könnte sogar sagen: bei einem Schüler, der versucht,  5⁴³ vom Taschenrechner aus zu lassen, ist zu vermuten, dass er eine der zentralen Bedeutungen von Potenzen nicht begriffen hat, nämlich dass sie oftmals praktische (Näherungs-)Abkürzungen für gigantisch große (und vollends abstrakte) Zahlen sind.

Z.B. wird die Anzahl der Atome im Weltall auf 

"eine Zahl im Bereich zwischen 10 hoch 84 [also 10⁸⁴ ] und 10 hoch 89 [also 10⁸⁹ ]"

(Quelle: )

geschätzt, was Kurzschreibweisen für 1000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 und 100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 sind.

Große Exponenten wie 84 und 89 bedeuten im Grunde also nichts anderes als "schier unvorstellbar groß [oder klein]".

(Es sei mal dahingestellt, ob man das als "Die Schönheit von Potenzen" bezeichnen kann.)

Wer nun aber den Fragen 4 bis 6 begegnet, kann natürlich den Taschenrechner einsetzen und wird auch damit zu den richtigen Antworten finden. Er zeigt aber nicht, dass er Potenzen verstanden hat.

Das gilt insbesondere, weil zwecks Auswertung des Tests mit Computern keine Lösungswege abgeprüft werden, sondern nur die richtigen Antworten zählen.

Wenn es also NICHT ums , sondern um Mathematik im eigentlichen Sinne geht, sind die Fragen 4 - 6 schlecht gestellt.

Fundierte Antworten auf die Fragen kommen nämlich allesamt OHNE aus:

• 

8¹⁵ = 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8

8¹⁶ = 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8 • 8

Es ist also , dass 8¹⁶ 8-mal größer als 8¹⁵ ist.

Ein noch schönerer Lösungsweg ist aber: weil 16 um 1 größer als 15 ist, taucht der Faktor 8 in 8¹⁶  einmal öfter auf als in  8¹⁵.

• 

Hier wird ein typischer Schülerfehler abgeprüft: weil 8^10 = 8¹⁰ = 8 • 8 •  8 •  8 •  8 •  8 • 8 • 8 • 8 • 8 ist, meinen viele Schüler fälschlich, dass 8¹⁰ = 8 • 10 ist.

Und 8¹⁰ sieht ja in der Tat verführerisch wie 8 • 10 aus - und nicht wie 8 • 8 •  8 •  8 •  8 •  8 • 8 • 8 • 8 • 8 .

Kommt hinzu: wenn etwas (ggf. Falsches) behauptet wird, glaubt man es erstmal, und erst in einem zweiten Schritt kann man sich davon distanzieren.

Richtig ist aber: in 8¹⁰ kommt nur (zehn mal) der Faktor 8 vor, in 8 • 10 hingegen auch der Faktor 10. Also (und das lasse man sich auf der Zunge zergehen) ist die richtige Antwort .

Oder doch mal mit :  8¹⁰  =  1 073 741 824 und 8 • 10 = 80. Bei den völlig unterschiedlichen Größenordnungen der beiden Ergebnisse sollten Schüler aber hellhörig werden und überlegen, wieso es zu diesem merkwürdigen Ergebnis gekommen ist.

• 

Spätestens hier sollten Schüler aber wirklich hellhörig werden

(und nehmen trotzdem vieles im Unterricht einfach hin: "verstehe ich eh nicht, ist mir also egal - oder umgekehrt"):

wenn die Ausgangsaufgabe (-5)⁴³ + (-1)⁴³ +(5)⁴³ so kompliziert ist, ist es doch erstaunlich, dass alle vorgegebenen Ergebnisse (inkl. dem richtigen) sehr einfach sind.

Was an  (-5)⁴³ + (-1)⁴³ +(5)⁴³ ist also so pseudo-kompliziert (also letztlich doch einfach)? Hier lohnt es sich, gleiche Elemente in derselben Farbe zu markieren:

(-5)⁴³ + (-1)⁴³ +(5)⁴³ .

Weil die Addition kommutativ ist, können wir die ähnlichen Summanden (-5)⁴³ und (5)⁴³ nebeneinander schieben:

(-5)⁴³ + (5)⁴³ + (-1)⁴³ .

Ungewöhnlich ist die Schreibweise (5)⁴³ : weil die Basis 5 positiv ist, lässt man üblicherweise die Klammer weg, schreibt also einfach 5⁴³.

War es Absicht, dass die Autoren des Tests dennoch (5)⁴³ geschrieben haben? Wollten sie also andeuten?

Eine Chance, die Aufgabe in angemessener Zeit richtig zu lösen, haben wohl nur Schüler, die

• sich nicht durch die Höhe des Exponenten 43 irritieren lassen,

• sondern umgehend zweierlei Vorwissen aktivieren können

(die beiden folgenden Regeln machen das [Pseudo-]Komplizierte letztlich so erstaunlich einfach):

• beim Auflösen der Klammer in einer Basis bleibt das Vorzeichen der Basis erhalten, wenn der Exponent ungerade ist

(das ist das Einzige, was an 43 interessant ist; als Exponent hätte also auch jede andere ungerade natürliche Zahl stehen können, Hauptsache, es ist immer dieselbe),

• jedes Potenzieren der Basis 1 ergibt wieder 1:

   (-5)⁴³ + (+5)⁴³  + (-1)⁴³  =
=  -5 ⁴³ + (+5 ⁴³) + (-1 ⁴³) =
=  -5 ⁴³   +  5 ⁴³     -  1 ⁴³   =
=              0             -  1 ⁴³   =
=                             -  1 ⁴³   =
=                             -  1

Oder kurz (-5)⁴³ + (-1)⁴³ +(5)⁴³  = .

Man muss zur Lösung dieser Aufgabe also zwei Potenzregeln kennen und anwenden, aber nicht rechnen können.

• 

Vorweg zum rot unterstrichenen Satz in der Aufgabenstellung :

• wenn da von den "letzten Ziffern [Plural] der Zahl [Singular]" die Rede ist, stellt sich doch die (Doppel-)Frage,

  • welche einzelne Zahl da denn überhaupt gemeint ist

(die im vorletzten Satz genannte "Zahl 7"?),

• wie viele "letzte[...] Ziffern" der einzelnen Zahl gemeint sind

(die letzten zwei, drei ... Ziffern?).

Gemeint sind aber wohl

• die Zahlen (Plural) rechts von den Gleichheitszeichen, also ,

• die (einzelne) letzte Ziffer (Singular) jeder dieser Zahlen, also

(obwohl das Spielchen auch mit den letzten beiden Ziffern funktioniert, wenn man 7 als 07 schreibt).

• In wird deutlich, was Mathematik eigentlich ist:

  • eben nicht Rechnen, das nur Handwerkszeug ist, sondern

"Mathematik ist die Wissenschaft von den Mustern" (Keith Devlin; vgl. ).

(... eine Aussage, die viele Laien [Schüler] sehr erstaunen wird, da die Schule das üblicherweise nicht im mindesten vermittelt.) 

Aber zurück zu → .

Wir vergessen jetzt mal für eine Weile die komplizierten Potenzen und beschäftigen uns vorerst nur mit der einfachen Zahlenliste , die hier aus Platzgründen erstmal quergelegt wird:

Wenn man diese Liste mehrfach von links nach rechts liest, wird sich schnell (wie bei Telefonnummern) ein Rhythmus   einstellen und damit das Muster deutlich.  

Oder fünf mal hintereinander: . Da wird deutlich, dass z.B. an der 19. Stelle eine 3 steht.

Hätten die Aufgabenautoren nicht nach 7¹⁹⁰, sondern nach 7¹⁹ gefragt, so könnten wir jetzt antworten: wenn man 7¹⁹ ausrechnet, so hat das Ergebnis als letzte Ziffer eine 3 .

(Nebenbei: 7¹⁹ ≈ 11398895185373100. Das ist - wohlgemerkt - nur eine vom Taschenrechner errechnete Näherung, denn wir wissen ja, dass die letzte Ziffer eine 3 sein müsste.)

Die Aufgabenautoren

• wollten nun aber vermutlich das simple Abzählen, das ja noch ganz unmathematisch ist, unmöglich machen

• und haben wohl deshalb den sehr hohen Exponenten 190 gewählt, bei dem man eine ewig lange Zahlenschlange niederschreiben und abzählen müsste und sich dabei vermutlich auch immer wieder vertun würde.

Für den Exponenten 190 würde die Zahlenschlange etwa so aussehen:

Da fragt sich doch jeder anständige Mensch, wie oft (= x) das Viererpack bis zur 190. Stelle hintereinander passt. Das kann man nun aber nicht mehr einfach abzählen, sondern muss man wohl mal rechnen (?):

      4 • x = 190 | : 4

⇔       x =

Bevor das eigentliche Rechnen aber überhaupt erst anfängt, hören wir damit schon wieder auf, füttern stattdessen  mit und erhalten x = 47,5 . Das Viererpack passt also bis zur 190. Stelle 47,5 mal hintereinander.

Nehmen wir davon erstmal nur den ganzzahligen Anteil 47, also die Anzahl der ganzen :

4 • 47 = 188, d.h.

	47 Viererpacks à

Um nun noch von der 188. zur 190. Stelle zu kommen, müssen wir noch zwei Stellen bzw. 0,5 • = • = weiter nach rechts gehen: 

An der 190. Stelle steht also eine 9, und deshalb hat die ausgerechnete Potenz 7¹⁹⁰ als letzte Ziffer die .

(Noch drei interessante Anmerkungen, die hier aber nicht vertieft werden sollen, da das allzu weit vom eigentlichen Thema wegführen würde:

1. : ergibt sich nur bei der Basis 7 eine stetige Wiederholung derselben Endziffern?

2. : warum kommen bei der Basis 7 [nur] die Endziffern 7, 9, 3 und 1 vor?

3. : es ist doch allemal interessant, dass wir die Endziffer der ausgerechneten Zahl 7¹⁹⁰ ermitteln können, ohne ansonsten irgendeine Ahnung von der Zahl zu haben

[dass z.B. 7¹⁹⁰ ≈ 3 7036300802 8160000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000 0000000000].)

(wenn die durchgehende Linie vom Erdgeschoss ins erste Stockwerk will, muss sie irgendwo [in einem Punkt ] durch die Decke gehen)^.

Das war der Fall, als das Kind ca. 4 Jahre alt war:

Weil Kinder/Jugendliche aber vor allem in der Pubertät rasant wachsen, ist wohl realistischer:

Damit nun aber endlich (wieder) zu "mindestens einmal in ihrem Leben", also "eventuell auch mehrfach (zwei-, drei-, viermal ...)". Die durchgezogene Linie hat also mehrere (zwei, drei, vier ...) Punkte mit der  "Halbe-Größe-Linie" gemeinsam.

• Beispiel A:

  

  (die durchgezogene Linie kommt immer aus dem Erdgeschoss, wechselt mehrfach zwischen ersten Stock und dem Erdgeschoss, endet aber immer im ersten Stock);

  Mal abgesehen davon, dass bei dem Graphen die Ausschläge nach oben oder unten zwecks besserer Erkennbarkeit übertrieben wurden: in unserem Anwendungsfall "Körperwachstum" wichtiger ist, dass der Mensch, um den es hier geht, abwechselnd größer und kleiner wird. Das ist zwar mathematisch schön schwungvoll, im Anwendungsfall allerdings Blödsinn.

• Beispiel B:

Hier verläuft die durchgezogene Linie zwischen den Punkten P₁ und P₂ auf der "Halbe-Größe-Linie" , d.h. die Person bleibt einige Zeit (im Zeitintervall G) gleich groß. Das ist durchaus realistisch, da Menschen bekanntermaßen oftmals in Wachstumsschüben wachsen. 

Die Aufgabenautoren wollten mit "mindestens einmal in ihrem Leben" also vermutlich diesen möglichen Spezialfall berücksichtigen.

Aber da geht die mathematische Exaktheit auf Kosten der Verständlichkeit.

Zudem wird hier schön ein Unterschied zwischen Alltags- und mathematischer Fachsprache deutlich:

• für Mathematiker besteht die (eine) Strecke aus unendlich vielen Punkten (was in "mindestens einmal" enthalten ist), d.h. die Person ist unendlich oft (mehr als einmal) gleich groß;

• für Laien ist dieses "unendlich oft [...] gleich groß" aber geradezu widersinnig, denn für sie kann ein Mensch in seinem kurzen Leben nicht unendlich oft eine Eigenschaft haben. Für Laien verweist die (eine) Strecke vielmehr auf ein Zeitintervall G : die Person ist während dieses (einen) Zeitintervalls, also ein (einziges) Mal gleich alt. Und Laien interessieren sich nicht dafür, woraus (aus wie vielen Augenblicken) ein ausgedehntes Zeitintervall besteht. Für sie ist der Augenblick nicht Teil eines Intervalls (Zeitraums), sondern das Gegenteil eines Intervalls.

(Nebenbei: was ist eigentlich ein "Augenblick":

oder ?)

Ein Laie würde wohl "ich bin eine Woche in Urlaub" sagen, aber niemals "ich bin eine Woche à 7 Tage à 24 Stunden à 60 Minuten à 60 Sekunden à 1000 Millisekunden ... in Urlaub": für einen Laien ist die Zeit

• sämig (dickflüssig, "stetig"),

• nicht körnig (in der mathematischen Fachsprache "diskret", nicht zu verwechseln mit alltagssprachlich "diskret = vertraulich, rücksichtsvoll").

(Die Frage, ob die Zeit "sämig" oder "körnig" ist, beschäftigt durchaus auch Wissenschaftler [Physiker]: .)

Dabei hat nicht der Mathematiker mehr recht (bzw. die einzige Wahrheit) als der Laie, sondern beide haben nur unterschiedliche Perspektiven auf dasselbe (viele Punkte / ein Intervall).

Deshalb hätte ich in der Aufgabenstellung einfach nur "mal" statt "zumindest einmal in ihrem Leben" geschrieben.

Vielleicht war die Informationsüberfrachtung aber Absicht der Aufgabenautoren, weil sie herausfinden wollten, ob Schüler (wie so oft bei Textaufgaben nötig) überschüssige Informationen rausfiltern konnten.

(Nebenbei:

• ich bin mir nicht sicher, dass alle Schüler [mit "Migrationshintergrund"] das Wort "momentan" verstehen; da hätte ein "jetzt" gereicht;

• "mindestens" scheint mir für heutige Schüler auch verständlicher als "zumindest" zu sein,

• ich würde auch nicht fragen, ob etwas "niemals" wahr ist, sondern ob es "nie" wahr ist.

Wer jetzt einwendet, dass die Schüler von heute [doch nicht] so doof sind, "momentan", "zumindest" und "niemals" nicht zu verstehen, hat nur noch nicht begriffen, dass sich die Sprache seit seiner Jugend und schon immer verändert hat.

Und überhaupt: wer die Maßstäbe seiner Jugend unreflektiert an die heutige Jugend anlegt, hätte unter keinen Umständen Lehrer werden dürfen.

Zuguterletzt sei hier noch erwähnt, dass auch das Wort "manchmal" in "manchmal wahr" problematisch ist. Vgl. etwa

:

da klingt doch mit, dass etwas nur in seltenen Ausnahmefällen wahr, in den meisten Fällen jedoch falsch ist:

Mathematiker meinen mit "manchmal wahr" aber sogar solche Fälle, in denen etwas in fast allen Fällen wahr ist. Der Haken ist da das Wörtchen "fast", das im Extremfall bedeuten kann, dass etwas nur in einem einzigen Fall falsch ist:

In der Alltagssprache, nicht aber in der Mathematik wäre also noch die vierte Kategorie "IN DEN MEISTEN FÄLLEN wahr" nötig. Aber ein Schüler, dem diese Antwortmöglichkeit nicht mitgegeben wird, läuft Gefahr, falsch zu antworten oder gar nicht antworten zu können.

Nun hat ein Schüler in der PISA-Prüfung gar nicht die Zeit, so umständliche Überlegungen anzustellen wie ich mit meinen "Größengraphen", ja, ich bezweifle, dass er überhaupt an mathematische Graphen denkt. Sondern er wird eher an einen "sämigen" (s.o.) Verlauf der Körpergröße denken: wenn ein Mensch bei Geburt 0,5 m groß ist und mit 15 Jahren 1,65 m, wächst er irgendwann durch die Hälfte von 1,65 m hindurch: .

(Schüler müssen ja nicht meine Vorgehensweisen wählen [Größengraph, das Stockwerk wechseln, wachsende Pflanze ...], aber man sollte ihnen doch "beibringen", [wenn irgend möglich] Analogien zu alltäglichen Erlebnissen und Vorgängen zu nutzen.

Dasselbe gilt - nebenbei - auch beim Verständnis von Literatur.)

Ich habe die "Größengraphen" ja nur benutzt, um zu zeigen, wie den Aufgabenautoren der allzu umständliche Ausdruck "zumindest einmal in ihrem Leben" in die Aufgabe gerutscht sein mag.

Einfacher (?) gefragt: ist es IMMER / (nur) MANCHMAL´/ NIEMALS wahr, dass die Körpergröße vom Alter abhängt?

Spontan werden da die meisten doch wohl antworten, dass das EINDEUTIG FALSCH, also NIEMALS wahr ist

(man denkt zu allerletzt an seltene Ausnahmen, es sei denn, man hat mal eine eindrücklich miterlebt; dass es also z.B. durchaus blonde Türken gibt und somit "Türken = schwarzhaarig" nur ein [wenn auch verständliches] Vorurteil ist).

Konstruieren wir also mal gezielt ein extremes Beispiel: "Ein 18-jähriges Mädchen [also eine erwachsene Frau] ist größer als ein eine Woche altes Mädchen [also ein Baby]." Das ist zweifelsohne IMMER wahr

(und zwar sogar dann, wenn die 20-jährige kleinwüchsig ist).

In welche Kategorie gehört nun aber "Ein 14-jähriges Mädchen ist größer als ein 10-jähriges Mädchen"?:

• IMMER wahr,

• NIEMALS wahr

• oder vielleicht sogar MANCHMAL wahr?

"Ein 14-jähriges Mädchen ist größer als ein 10-jähriges Mädchen" ist "IN DER REGEL bzw. MEISTENS wahr", da Menschen in der Jugend (zwischen dem 10. und 14. Lebensjahr) noch wachsen.

Aber die REGEL kann Ausnahmen haben bzw. "MEISTENS" bedeutet keineswegs "immer".

• einige Menschen sind von Anfang an (auch im 10. Lebensjahr) größer als Gleichaltrige und sogar Ältere (14-jährige),
• andere wachsen schon sehr früh (mit 10 Jahren) besonders schnell,
• andere sind "Spätzünder" d.h. sie schießen erst sehr spät (z.B. mit 15. Jahren) in die Höhe.

(Von Vorteil ist es  hier wieder, wenn man [ohne alle Mathematik]) konkrete eigene Erlebnisse nutzen kann. So war z.B. mein jüngerer Bruder lange Zeit für sein Alter viel zu klein [und hat sehr darunter gelitten]. Aber mit ca. 17 Jahren hat er einen riesigen Schuss nach oben gemacht - und ist seitdem 10 cm größer als ich.)

Es fällt allerdings schwer, "IN DER REGEL bzw. MEISTENS wahr" mit der Kategorie gleichzusetzen, da

• "manchmal" in der Alltagssprache "in wenigen Fällen" bedeutet

• und eben nicht "IN DER REGEL bzw. MEISTENS" .

Vor allem aber: bei der Lösung der Aufgabe wird niemals gerechnet, und zwar auch nicht mit den beiden einzigen in der Aufgabe enthaltenen Informationen, nämlich 14 und 10. Oder genauer: das einzig Wichtige an diesen Zahlen ist, dass 14 größer als 10 ist, was intuitiv klar ist und nicht erstmal errechnet werden muss.

Wichtig an der Aufgabe ist, dass die Schüler hier (wieder) dynamisch denken müssen, da 10- und 14-jährige noch in der Wachstumsphase sind. Alles wäre viel einfacher, wenn die beiden Vergleichskandidatinnen schon aus der Wachstumsphase heraus wären, die Aufgabe als z.B. "Eine 34-jährige Frau ist größer als ein 30-jährige Frau" lauten würde, was wieder "MANCHMAL" der Fall ist,

• solange man darunter (besser formuliert) "34-jährige Frauen sind größer als 30-jährige Frauen" versteht

• und nicht "Eine [bestimmte] 34-jährige Frau [Erna N.] ist größer als eine [bestimmte] 30-jährige Frau [Petronella M.]"

(wast dann IMMER oder NIEMALS wahr ist).

Unter den geht es hier zum ersten Mal

• nicht mehr um die Außenwelt (Körpergrößen),

• sondern um innermathematische Zusammenhänge (hier Quadrieren).

Weil in der Aufgabenstellung von "geraden" Zahlen die Rede ist, erkennen einige Schüler vielleicht sofort, dass es günstig sein könnte, die Behauptung mal mit geraden und ungeraden Zahlen auszuprobieren.

Wenn man hingegen von nix 'ne Ahnung hat, überhebe man sich nicht und fange man mit ganz einfachen Zahlen an

(auch, um gar nicht rechnen zu müssen oder nur ganz einfache Rechnungen durchführen zu müssen!):

• 1 • 1 = 1 . Das Ergebnis ist also ungerade, womit schon die Behauptung, dass das Quadrat einer ganzen Zahl IMMER gerade ist, in Trümmern liegt.

• 2 • 2 = 4 . Das Ergebnis ist also gerade, womit sofort auch die Behauptung, dass das Quadrat einer ganzen Zahl NIEMALS gerade ist, in Trümmern liegt.

• Bleibt also nur .

Es reichen also zwei (Mini-)"Rechnungen", und deshalb müssen Schüler auch gar nicht daran denken, dass zu den "ganzen" Zahlen ja eigntlich auch die negativen ganzen Zahlen (-1, -2, -3 ...) gehören

(die, wenn man sie mit sich selbst multipliziert, ohnehin doch wieder positive ganze, also "natürliche" [gerade oder ungerade] Zahlen ergeben).

Wenn in der Aufgabe vorher heraus kam, folgen jetzt doch wohl so sicher wie das Amen in der Kirche "IMMER wahr" oder "NIEMALS wahr"!

Wieder mit besonders einfachen ganzen Zahlen:

• 2 • 1 = 2 . Das Ergebnis ist also gerade, womit die Behauptung, dass eine verdoppelte ganze Zahl IMMER gerade ist, bestätigt wird.

• 2 • 2 = 4 . Das Ergebnis ist ebenfalls gerade, womit die Behauptung, dass eine verdoppelte ganze Zahl IMMER gerade ist, nochmals bestätigt wird.

Da würde ich Schülern empfehlen, wegen des Zeitdrucks in der Prüfung ohne weitere Überprüfungen und Überlegungen sofort anzustreichen

(auf die Gefahr hin, dass es vielleicht doch noch Ausnahmen gibt und deshalb nur gilt;
in Wirklichkeit gibt es allerdings keine Ausnahmen, gilt also tatsächlich ).

Wenn aber

• "eine ganze Zahl mit sich selbst multipliziert ergibt eine gerade Zahl" ist und

• "eine verdoppelte ganze Zahl ergibt eine gerade Zahl" ist,

können "Mit-Sich-Selbst-Multiplizieren [= Quadieren]" und "Verdoppeln nicht dasselbe sein.

Mit den Fragen 10 und 11 spielen die Aufgabenautoren also indirekt auf einen beliebten Schülerfehler an, nämlich x² = x • 2. In der Regel ist nämlich x² ≠ x • 2

(einzige Ausnahmen: 0² = 0 • 2 , 2² = 2 • 2 ).

Und gleichzeitig verhindern die Aufgabenautoren den beliebten Schülerfehler, indem sie in Aufgabe 10 nicht von "Quadrieren", sondern von "mit sich selbst malnehmen" ( ≠ mit 2 malnehmen) sprechen.

Weil in Aufgabe 10 und in Aufgabe 11 richtig wahr, könnte man vermuten, dass die Aufgabenautoren alle Möglichkeiten abprüfen und deshalb nun in Aufgabe 12 dran ist. Wer auf solche Logik vertraut, überlegt also eventuell gar nicht weiter, sondern hakt einfach ab ("wird schon stimmen").

Man könnte hier aber auch eine Falle vermuten und doch lieber nochmals selbst nachdenken.

Wir fangen wieder mit möglichst einfachen, diesmal ungeraden ganzen Zahlen an:

• 1 : 2 = bzw. für Bruchlegastheniker und Rechenanalphabeten mit 1 : 2 = 0,5 , und das ist keine ganze Zahl;

• 3 : 2 = bzw. für Bruchlegastheniker und Rechenanalphabeten mit 3 : 2 = 1,5 , und das ist wieder keine ganze Zahl.

Weil wir faul sind und keine Zeit haben, kreuzen wir also (wie zu erwarten; s.o.) an, was tatsächlich auch allgemein richtig ist.

Schüler werden es kaum bemerken, aber Frage 12 ist im Grunde die "Gegenfrage" zu Frage 11, d.h. die Aufgabenautoren prüfen hier ganz systematisch ab.

Insgesamt prüfen die Fragen 10, 11 und 12 die einfachsten innermathematischen Beispiele für "IMMER / MANCHMAL / NIEMALS" ab, d.h. der nächste PISA-Test kann eigentlich nur schwieriger werden.

Hier wird tatsächlich mal der typisch deutsche Mathematikunterricht abgeprüft, d.h. Termumformungen⁹ (und später dann Gleichungslösen¹⁷ ), also Patentrezepte anwenden und Rechnen!).

Schöner als 3x+1 = (6x+2)/2 ist natürlich . Hier muss man nun die Möglichkeit erkennen, zwei mathematische Rechenregeln anzuwenden. Fangen wir mit dem schwierigeren an, um zu sehen, ob sich daraus das einfachere 3x + 1 machen lässt.

Dabei ist es natürlich günstig, wenn man sofort erkennt, dass 6x + 2 das Doppelte von 3x + 1 ist, weil nach dem Distributivgesetz gilt: 6x + 2 = 2  • 3x + 2  • 1=  2  • (3x + 1) oder kurz  6x + 2 =  2  • (3x + 1) .

(Das einzige Rechnen besteht hier also in 6 : 2 = 3 und 2 : 2 = 1. Japanischen Schülern soll das sogar schon ohne gelungen sein.)

Es folgt also = . Da kommt im Zähler und im Nenner eine 2 vor, und außerdem wird im Zähler mit 2 multipliziert, weshalb wir den Bruch durch 2 kürzen können: = = = 3x + 1 .

Insgesamt also = = = = 3x + 1

oder kurz                                   =                                       3x + 1 .

Das ist für alle x richtig, also .

Wenn die Originalaufgabe so aussah

(und nicht erst im "Spiegel" so vermurkst wurde),

haben die Aufgabenautoren sofort für drei unnötige Schwierigkeiten gesorgt:

1. : was bedeuten die Querstriche in ?

ich vermute, dass damit angedeutet werden soll,

• dass die mit Querstrichen versehenen Strecken beliebig lang sein dürfen

(allerdings nicht gleichgroß wie die jeweils parallelen Ausschnittseiten oder kleiner, weil dann ein Ausschneiden gar nicht möglich ist),

• dass also unendlich viele Anfangsrechtecke möglich sind

(z.B. das Original oder oder )

• und sich damit überhaupt erst die Frage stellt, ob die Aussage "Der Umfang von Figur A ist größer als der Umfang von Figur B"

  • IMMER (für alle der unendlich vielen möglichen Anfangsrechtecke),

  • MANCHMAL (für einige Anfangsrechtecke und für einige nicht),

  •  NIEMALS (für kein einziges Anfangsrechteck)

wahr (richtig, zutreffend) ist.

Nebenbei: auf den ersten Blick sieht es so aus, dass die Aufgabenautoren sowohl bei der Ausgangsfigur als auch beim Ausschnitt nicht ganz allgemein Rechtecke, sondern Quadrate gemeint haben. Wenn man aber nachmisst,

• ist zwar die Ausgangsfigur quadratisch

• nicht aber der Ausschnitt .

Glücklicherweise spielt es aber bei der Lösung der Aufgabe keine Rolle, ob

• alle (auch nicht-quadratische) rechteckigen Ausgangsfiguren und ein nicht-quadratischer rechteckiger Ausschnitt gemeint war,

• nur quadratische Ausgangsfiguren, aber ein (auch nicht-quadratischer) Ausschnitt

• oder nur quadratische Ausgangsfiguren und ein quadratische Ausschnitte.

Nun habe ich gerade immer

•  im Plural von vielen (rechteckigen oder quadratischen) Ausgangsfiguren gesprochen,

• hingegen im Singular von einem einzigen (rechteckigen oder quadratischen) Ausschnitt.

Grund dafür ist, dass die linke und untere Seite des Ausschnitts nicht mit Querstrichen versehen sind, der Ausschnitt als (wenn meine Deutung der Querstriche stimmt) nie verändert wird:

• aus unterschiedlich großen Ausgangsfiguren

• wird immer derselbe Ausschnitt ausgeschnitten.

2. An fast allen Ecken der beiden Figuren in der Aufgabenstellung tauchen merkwürdige kleine Symbole auf: . Was da in der Form daherkommt, wird an deutschen Schulen meistens so markiert und bedeutet "rechter Winkel".

( scheint im englischsprachigen, im deutschsprachigen Raum üblich zu sein.)

Es könnte also sein, dass den Schülern das Symbol im PISA-Test zum ersten Mal begegnet. Für deutsche Schüler wäre also eine Sonderversion mit dem Symbol nötig.

Aber vielleicht ist das Fehlen der deutschen Version eine lässliche Sünde, weil die beiden Figuren sowieso an allen Ecken und Enden rechtwinklig sind.

Das war auch der Grund, weshalb ich schon oben andauernd von Rechtecken und Quadraten gesprochen habe.

(Unerwähnt bleibt in der Aufgabenstellung, dass "das Ganze" sowieso nur für rechtwinklige Figuren funktioniert; s.u. beim "Broadway".)

3. scheint mir die Behauptung "Der Umfang von Figur A ist größer als der Umfang von Figur B" in der Aufgabenstellung

(wie schon bei anderen Aufgaben oben)

zweifelhaft: die Schüler könnten doch wirklich denken, dass mit Figur A und Figur B nur die beiden Figuren in gemeint sind - und

(insbesondere auch wegen 1.)

völlig übersehen, dass auch unendlich viele andere Fälle gemeint sind.

Wenn aber nur die beiden Figuren in gemeint sind, sind die sich immer auf viele Fälle beziehenden Antworten "IMMER / MANCHMAL / NIEMALS wahr" sinnlos.

(Kurz eingeschoben seien Vermutungen dazu, wie die Aufgabenautoren

• zu der Behauptung "Der Umfang von Figur A ist größer als der Umfang von Figur B"  gekommen sein mögen,

• weshalb sie die Frage 14 überhaupt in den Test aufgenommen haben

• und weshalb die Behauptung "Der Umfang von Figur A ist größer als der Umfang von Figur B" so überzeugend (und doch falsch) ist:

Da in die Figur B dadurch entsteht, dass aus der Figur A etwas ausgeschnitten wird, ist natürlich die FLÄCHE von Figur A größer als die FLÄCHE von Figur B. Da liegt es doch erstmal nahe zu glauben, dass es sich beim UMFANG wohl genauso verhält: wenn eine FLÄCHE größer ist, ist auch ihr UMFANG größer

[vgl. etwa: ein [flächenmäßig] größerer Kreis hat such einen größeren Umfang].

Nebenbei: wie z.B. anhand von   deutlich wird, hat die Figur sogar eine kleinere FLÄCHE und dennoch einen erheblich größeren UMFANG als die  Figur .

Die Entkopplung von Fläche und Umfang bzw. im Dreidimensionalen von Volumen und Oberfläche ist ein entscheidendes Konstruktionsprinzip in Natur und Technik, um auf kleinem Raum dennoch eine möglichst große Oberfläche zu erhalten:

• [Naturschwamm],

• [aufgeschnittener Autokatalysator])

Nun aber zur Aufgabenlösung:

entscheidend sind die Erkenntnisse, dass

• die Figuren rundweg rechtwinklig sind,

• Figur B genauso hoch ist wie Figur A (was durch die Zeichnung ja nahegelegt wird)

• und Figur B wohl auch genauso breit "gemeint" ist wie Figur A.

Hier sei nur die (wie ich finde) schönste, vielleicht intelligenteste, allemal aber kürzeste und deshalb / dennoch verständlichste Lösung vorgeführt:

wir markieren

• in rot alles, was der die Außenstrecken von Figur A und von Figur B gemeinsam haben

• und in hell/-dunkelblau und hell-/dunkelgrün, was sie (auf den ersten Blick) unterscheidet:

Und nun betrachten wir nur noch die Unterschiede, also

Wegen der rechtwinkligen Schnitte ist nun aber

• die dunkelblaue Strecke in Figur A genauso lang wie die hellblaue Strecke in Figur B,

• die dunkelgrüne Strecke in Figur A genauso lang wie die hellgrüne Strecke in Figur B,

d.h. auch in ergibt sich im Hinblick auf den Umfang kein Unterschied zwischen den beiden Figuren.

Daraus folgt:

• die Behauptung "Der Umfang von Figur A ist GENAUSO GROSS  wie der Umfang von Figur B" ist ,

• also ist die Behauptung "Der Umfang von Figur A ist GRÖSSER als der Umfang von Figur B" aus der Aufgabenstellung .

Im Hinblick auf mein Zentralthema "[nicht] Rechnen" gilt hier bei Frage 14., dass da nichtmal ansatzweise gerechnet wird

(was sich bei Thema 4. Frage 16 - 20: fortsetzt; s.u.).

Ich hatte oben mehrfach von einem "Ausschnitt" bzw. "ausschneiden" gesprochen, obwohl davon in der PISA-Aufgabe nie die Rede war: in   sind die beiden Figuren A und B nur "irgendwie unterschiedlich", aber es bleibt unklar, dass die Figur B aus der Figur A entstanden sein könnte. Es fehlt also der "missing link" zwischen Figur A und Figur B.

Das ist vermutlich Absicht gewesen: die Schüler sollten diesen "missing link" wohl überhaupt erst selbst entdecken.

Mit diesem "[dann nicht mehr] missing link" wird allerdings alles viel einfacher:

"Aus einer rechteckigen Figur A wird oben rechts ein kleineres Rechteck ausgeschnitten, wodurch die Figur B entsteht."

(Hier sei mal davon ausgegangen, dass sie Schüler, wenn sie die beiden Figuren zeichnen, Rechteck A nicht so legen werden und dass deshalb weitere Missverständnisse ausgeschlossen sind.)

Wenn derart durch Ausschneiden Figur B aus Figur A entsteht, impliziert das, dass beide Figuren (trotz Ausschneidens) dieselbe Breite und Höhe haben

(und nicht, wie in , beim ersten Hinsehen nur ungefähr dieselbe Breite).

Am besten wäre es natürlich, wenn die Schüler mittels Schere selbst schneiden würden. Da das aber in der PISA-Prüfung aber kaum möglich ist

(bzw. warum eigentlich nicht?),

könnte eine kleine Geschichte wirklich mal nicht schaden: Ahmed schneidet - und die Schüler können sich mit ihm identifizieren, also fiktiv mitschneiden.

In einer anderen Geschichte zum selben Thema wird nicht geschnitten, sondern gegangen:  

Diese Aufgabe gilt nun offensichtlich als Vorausdeutung auf das übernächste Thema "Wahrscheinlichkeitsrechnung", also 5. Frage 21 - 23: (s.u.).

Mit der Behauptung

"Wird eine Münze 50-mal geworfen, so wird sie 25-mal mit dem Kopf nach oben landen"

eine fundamentale Erkenntnis der Wahrscheinlichkeitsrechnung abgeprüft.

Die Behauptung "Wird eine Münze 50-mal geworfen, so wird sie 25-mal mit dem Kopf nach oben landen" mogelt auf hinterhältige Weise die Wahrscheinlichkeit erst hinein und dann doch wieder heraus:

• in der Behauptung wird die Zahl zwar nicht explizit genannt, aber doch auf sie angespielt, denn 25 = • 50 ;

• weil aber 25 = • 50 zweifelsfrei richtig ist, wird suggeriert, dass auch die Behauptung richtig ist;

• gerade einem Schüler, der bei an die "[binomiale] Gleichwahrscheinlichkeit" denkt, wird also suggeriert, dass die Behauptung

(in der raffinierterweise gar keine Wahrscheinlichkeit vorkommt)

IMMER wahr ist.

Es gibt gute Gründe dafür, dass die Mathematiker auch dann von "Wahrscheinlichkeit" sprechen, wenn etwas sicher ist

(was doch eigentlich ein Widerspruch in sich ist):

• wenn ein Ereignis garantiert eintritt, sprechen sie von der Wahrscheinlichkeit 1 (100 %),

• wenn ein Ereignis garantiert nicht eintritt, sprechen sie von der Wahrscheinlichkeit 0 (0 %).

Für Schüler wäre es vermutlich viel einfacher, wenn Sicheres nicht als "wahrscheinlich" bezeichnet würde. Denn dann könnte man die allgemeine Regel aufstellen:

"wenn etwas wahrscheinlich ist, ist es garantiert nicht sicher".

Im hier vorliegenden Fall:

• eine Münze kann auf jede ihrer beiden Seiten fallen,

• d.h. es liegt echte Wahrscheinlichkeit vor (mathematisch gesagt: die Wahrscheinlichkeit ist weder 0 noch 1)

• und deshalb

  • kann die Münze zwar tatsächlich ^{"25-mal mit dem Kopf nach oben landen"}

  • aber die Münze wird nicht mit Sicherheit exakt "25-mal mit dem Kopf nach oben landen"

(sondern sie kann z.B. auch

• 50 mal mit dem Kopf und kein einziges Mal mit der Zahl nach oben fallen

• oder 17 mal mit dem Kopf nach oben und 50 - 17 = 33 mal mit der Zahl nach oben,

[und das außerdem in vielen verschiedenen Reihenfolgen]).

Aus  ^{"wenn etwas wahrscheinlich ist, ist es garantiert nicht sicher", folgt aber, dass die beiden Sicherheiten und ausgeschlossen sind, so dass nur übrig bleibt.}

(Nebenbei: wenn "Wahrscheinlichkeit" das Unterrichtsthema ist, werden im Standardunterricht fast nur "echte" Wahrscheinlichkeiten [also ungleich 0 oder 1] durchgenommen, so dass die Schüler diese automatisch voraussetzen und gerade deshalb der Begriff der "echten" Wahrscheinlichkeit untergeht. Statt dessen müssten

• viel mehr Schein-Wahrscheinlichkeiten, also Sicherheiten [Wahrscheinlichkeit 0 oder 1] durchgenommen werden

• und damit die Einstiegsfrage bei jeder Aufgabe sein:

"Liegt hier überhaupt echte Wahrscheinlichkeit vor?".

Und wenn die Antwort "ja" ist, muss immer wieder ausdrücklich gesagt werden:

"Alle Ergebnisse sind möglich, aber keines ist sicher."

Aber Ergebnisse können

• gleichwahrscheinlich sein

• oder wahrscheinlicher als andere,

weshalb

• man paradoxerweise eben doch Aussagen über den Zufall machen können

• und Wahrscheinlichkeitsrechnung überhaupt sinnvoll ist.)

• Zu Frage 16 - 20: :

wenn man von "gerade [Zahl]" und "ungerade [Zahl]" und simpelsten Additionen (m + n) absieht, geht es in all diesen Fragen nur um die Fortsetzungen geometrischer Muster

(vgl. : ein Thema, das meiner Meinung nach im üblichen Matheunterricht meistens sträflich vernachlässigt wird)^,

In allen Fragen 16 - 20 kommt also keinerlei bemerkenswertes Rechnen vor.

Schauen wir uns aber dennoch mal an, was die Schüler denn statt Rechnen können müssen:

Kürzer: , woraus folgt, dass  richtig ist.

(Nebenbei: ich vermute, dass einige Schüler [wie auch bei den folgenden Fragen] Schwierigkeiten damit hatten, was hier mit dem Wort "sonst" gemeint ist:

• anfangs wurde nach den ungeraden Zeilen [1, 3 ...] gefragt,

• "sonst" bedeutet hier also, dass nun nach den geraden Zeilen [2, 4 ...] gefragt wird.)

Hier müssen die Schüler also "nur"

• die ungeraden Zeilen 1 und 3 erkennen und dass in beiden Fällen eine die erste Fliese ist,

• die einzige gerade Zeile 2 ("sonst") erkennen und dass da die erste Fliese ist,

• beide Erkenntnisse für alle ungeraden / geraden Zahlen verallgemeinern.

Der Sinn dieser Einleitungsaufgabe scheint also zu sein, dass die Schüler für die folgenden Aufgaben erkennen:

• in der ersten Spalte wechseln sich die Fliesen vom Typ und Fliesen vom Typ immer ab;

• eine erste Überprüfung ergibt, dass das für alle Spalten gilt;

• das in allen Fragen 16 - 20 identisch vorkommende Flechtmuster ist also ausschließlich aus den Fliesen vom Typ und Fliesen vom Typ  zusammengesetzt und somit viel einfacher konstruiert, als man auf den ersten Blick annehmen könnte.

(Nebenbei: solche Flecht- bzw. Zopfmuster sind sogar schön , was allerdings in der mathematischen Abstraktion weitgehend abhanden kommt. Warum also für ach so Wichtiges wie einen PISA-Test nicht [notfalls mit Photoshop imitierte] echte Fliesen nehmen?)

• Auf den Diagonalen liegen

  • entweder nur Fliesen vom Typ

  • oder nur Fliesen vom Typ .

Noch kurz zu : da erscheint sowohl in der (von unten gezählt) ersten als auch in der dritten Zeile als erste Fliese , also in beiden Zeilen (Plural) dieselbe Fliese (Singular). Das widerspricht natürlich jeder Fliesenlege-Praxis,

• bei der jede Fliese nur einmal auftaucht,

• wenn auch viele Fliesen (Plural) dasselbe Muster (Singular) haben, nämlich entweder oder ^.

Hier bei Frage 17 wird die Erkenntnis aus Frage 16, dass sich in den Spalten die Fliesen vom Typ und Fliesen vom Typ abwechseln, analog für die Zeilen hergeleitet, d.h. die richtige Antwort ist  .

Die Fragen 16 und 17 zusammen machen also "nur" klar, dass hinter dem unübersichtlichen Muster das viel übersichtlichere Muster steckt. Das aber ist Voraussetzung dafür, dass man bei den Fragen 18 - 20 ((s.u.) von den Ausschnitten auf alle Fliesen verallgemeinern kann. Dass für vollständige Beweise aber eigentlich begründete Verallgemeinerungen nötig sind, werden viele Schüler gar nicht erkennen, und dazu haben sie ja in einer stressigen Prüfungssituation vermutlich auch gar keine Zeit. Das kann den Schülern jedoch egal sein, da die PISA-Tests im multiple-choice-Verfahren stattfinden und somit nur zählt, ob die  Antworten richtig sind. Das entscheidet sich jedoch bei den Fragen 18 - 20 immer schon korrekt anhand der rot umrandeten Fliesen in .

(Nebenbei:

• hier sei von den zwei unterschiedlichen möglichen Orientierungen der Fliesen vom Typ abgesehen: sie können so oder so verlegt werden [in den Fragen tritt aber nur der Fall auf];

• man könnte zusätzlich noch feststellen: auf den Diagonalen liegen

  • entweder nur Fliesen vom Typ

  • oder nur Fliesen vom Typ .

• Als nette kleine Dreingabe zwischendurch: wie musste der Fliesenleger vorgehen, als er in unseren Bädern, Klos und unserer Küche

  • mit den drei Fliesentypen   , und

  • das Muster legen wollte,

  • und zwar, indem er die Fliesen immer parallel zu einer Wand verlegte: ?

Und am besten lasse man Schüler das Muster mit echten Fliesen [ohne Mörtel] oder zumindest farbigen Plättchen legen.)

• 

Weil ich selbst drauf reingefallen bin:: ab hier ist

• nicht mehr von zwei Fliesen (der aktuellen und der der vorherigen) die Rede,

• sondern nur noch von einer einzigen (der aktuellen).

Zuerst mal zu den rot umrandeten vier Fliesen: Darin hinterlegen wir nun

• oliv, wenn m + n ungerade ist,

• gelb, wenn m + n  gerade ist:

Also sind

• Fliesen, bei denen m + n  ungerade ist, immer Fliesen vom Typ ,

• Fliesen, bei denen m + n  gerade ist, immer Fliesen vom Typ ,

und deshalb ist die Behauptung falsch und die richtige Antwort also .

Und das muss viele Schüler doch enorm irritieren:

• "falsch",

• "richtig",

• "nein".

Hinzu kommt ein psychologischer Effekt: zumindest deutsche Schüler bekommen im Mathematikunterricht fast ausschließlich Behauptungen vorgesetzt, die richtig sind. In den meisten Fällen werden sie kritiklos geglaubt ("friss oder stirb") und sofort innermathematisch "angewandt". Und ab und zu werden sie auch bewiesen. Dahinter steckt ein Bild der Mathematik, aber auch des Mathematiklehrers, die / der immer recht hat

(was die Mathematik so penetrant besserwisserisch erscheinen lässt, und wer mag schon Besserwisser?!).

Deshalb wirkt die falsche Behauptung so suggestiv richtig, dass es großen Muts Und Selbstbewusstseins bedarf, um zu ihr zu sagen.

• 

Zuerst betrachten wir wieder die rot umrandeten Fliesen (langsam wird's langweilig): Darin hinterlegen wir nun

• oliv, wenn m • n gerade ist,

• gelb, wenn m • n  ungerade ist:

Hier sind nun sowohl Fliesen vom Typ als auch (hier wichtiger:) Fliesen vom Typ oliv unterlegt, also kann man der Behauptung nur ein schallendes entgegenschmettern.

In Frage 18 und 19 lautete die Antwort beide Male img height="54" src="../bilder/pisa2_18f.png" width="281"> . Da wartet man doch sehnlich doch darauf, dass in Frage 20 zur Abwechslung mal eine positive Antwort , also folgt. Beim dritten Versuch muss der Versuch doch endlich gelingen, denn "aller guten Dinge sind drei".

• 

Und wieder (gähn!) betrachten wir die rot umrandeten Fliesen:

Darin hinterlegen wir nun

• oliv, wenn m und n

  • beide gerade

  • oder beide ungerade sind.

• gelb, wenn

  • eine der beiden Zahlen m und n  gerade

  • und die andere ungerade ist:

Es folgt:

• wenn m und n beide (un-)gerade sind, liegen Fliesen vom Typ vor ,

• sonst liegen Fliesen vom Typ vor .

Daraus folgt aber , dass die Behauptung (wie oben erwartet) richtig ist, also diesmal folgt.

Wir haben im dritten Anlauf also endlich ein passendes mathematisches Rezept für die Fliesenverlegung gefunden.

(Das Rezept ist natürlich in der Praxis überflüssig: ein Fliesenleger wird ^und einfach abwechselnd/span> legen.)

• Zu Frage 21 - 23:  :
  • 

Vorweg sei festgestellt, dass das ein einschüchternd langer Aufgabentext ist

(was auch nicht dadurch besser wird, dass Teile dieses Textes auch für die Folgefragen gelten).

Ungünstig finde ich auch zweierlei:

• dass der rot umrandete Teil erst nach dem grün umrandeten Teil folgt, obwohl doch der rot umrandete Teil die Voraussetzung dafür ist, dass nur den 1- und 2-Sterne-Bewertungen alle Bewertungen vorkommen, die nichts mit der Qualität der Kopfhörer zu tun haben:

;

• die vielleicht für einige Schüler schwer verständliche Kategorie : gemeint ist da doch wohl, dass jemand eigentlich oder vergeben wollte, aber versehentlich oder eingegeben (angeklickt) hat.

Man kann bei den Aufgaben 21 - 23 natürlich auch die Prozentangaben in der ersten Tabelle benutzen (z.B. 29 %), aber weil in der zweiten Tabelle nur absolute Werte auftauchen (z.B. 13), ist es doch ratsam, auch in der ersten Tabelle nur die Absolutwerte (z.B. 48) zu benutzen. So gesehen sind die Prozentangaben in der ersten Tabelle nur Blendwerk, das die Schüler hübsch vom rechten Pfad der Tugend abbringt.

• 

Um vorerst nicht mit ach so schwierigen Prozenten rechnen zu müssen, lassen wir in der ersten Tabelle alle Prozentangaben weg

(um Gottes willen nicht unnötig viel auf einmal!):

(Das aber ist [insbesondere mit ] eine derart simple Addition, dass ich da gar nicht von "[problematischem] Rechnen" reden möchte.)

Insgesamt haben also 163 Menschen Bewertungen abgegeben.

Da nur in den 1- und 2-Sterne-Bewertungen Begründungen vorkommen, die nichts mit der Qualität der Kopfhörer haben,

• schauen wir uns nun die Tabelle für die 1- und 2-Sterne-Bewertungen an,

• streichen darin alle Bewertungen, die nichts mit der Qualität der Kopfhörer zu tun haben

• und addieren die Anzahlen der tatsächlich negativen Qualitätsbewertungen: 

  

(Nebenbei: die simple Addition 7 + 4 = 11 wird man wohl kaum als "[problematisches] Rechnen" bezeichnen wollen, und das schon gar nicht, wenn einige Schüler dafür bemühen.)

Insgesamt haben also von denjenigen Personen, die 1- oder 2-Sterne-Bewertungen abgegeben haben, 11 Personen negative Bewertungen der Kopfhörerqualität abgegeben.

Daraus folgt, dass auch von allen 163 bewertenden Personen nur 11 Personen negative Bewertungen der Kopfhörerqualität abgegeben haben. Der relative Anteil der negativen an allen Bewertungen war also . Um daraus eine Dezimalzahl zu machen, benutzen wir

(womit auch wieder kein [problematisches] Rechnen vorliegt)

und erhalten ≈0,067. Da in aber nach dem "prozentualen Anteil" gefragt ist, müssen wir zuguterletzt 0,067doch noch kurz in Prozente umwandeln:

0,067 entspricht 6,7 %

Da muss es auf Schüler, deren Lösungsweg durchaus richtig war, doch allemal irritierend wirken, dass das Ergebnis 6,7 % in der Liste möglicher Antworten gar nicht vorkommt. Denkbare Reaktionen der Schüler scheinen mir zu sein:

• derart in die Irre geführt, fangen sie die Aufgabe nochmals von vorne an und

  • kommen entweder zum selben, immer noch irritierenden Ergebnis

  • und verheddern sich damit vollends

(wodurch sie keine Zeit mehr für die Folgeaufgaben haben)

• oder geben resigniert auf

(und raten dann hoffentlich noch in der Hoffnung, dass auch ein blindes Huhn mal ein Korn findet),

• oder verschlimmbessern ihre ursprüngliche richtigen Lösungsweg und kommen dadurch

  • zu gar keinem (falschen) Wert aus der Liste

(und können dann nur noch raten)

• oder zu einem falschen Wert aus dieser Liste,

• verlieren mit all dem aber allemal viel Zeit;

• oder sie nehmen einfach den am nächsten an 6,7 % liegenden Wert, also

(wobei sie ja nichtmal erkennen müssen, dass

• das eine Rundung an der ersten Nachkommastelle ist

• und auch schon 6,7 % ein an der zweiten Nachkommastelle gerundet war).

Die Irritation kann also durchaus Absicht der Aufgabenautoren gewesen sein, um nebenher auch noch das Runden abzuprüfen.

(Nebenbei: es ist natürlich nurmehr wirklichkeitsfremd, dass Andrea sich wirklich alle 163 Bewertungen angeschaut hat. Sonst hätte sie aber nicht herausfinden können, dass nur in den 1- und 2-Sterne-Bewertungen auch Bewertungen vorkommen, die nichts mit der Qualität der Kopfhörer zu tun haben. Nur soviel zum Thema "[angebliche] Anwendungsaufgaben".)

• 

Da diese Aufgabe mit anderen Zahlen genauso funktioniert wie die vorherige

(mathematisch also nichts Neues unter der Sonne),

erledigen wir sie im Schweinsgallop:

• aus der Tabelle und da folgt, dass 41 Personen 1- und 2-Sterne-Bewertungen abgegeben haben;

• aus der Tabelle und da  folgt, dass 17 Personen bemängelt haben, dass die Kopfhörer zu spät oder nie angekommen sind;

• der relative Anteil ist also ≈ 0,41 und der prozentuale Anteil somit .

(Eigentlich müßig zu erwähnen, dass auch hier von "[problematischem] Rechnen" wieder keine Rede sein kann.)

Diese Aufgabe dient wie die vorherige offensichtlich allein dazu, die nächste vorzubereiten (und die Schüler mit unterschiedlichen Grundmengen zu irritieren).

• 

Wieder im Schweinsgalopp:

• aus Aufgabe 21: Anzahl aller Personen, die eine (egal, welche) Bewertung abgegeben haben: 163;

• aus Aufgabe 22: Anzahl der Personen, die bemängelt haben, dass das Produkt zu spät oder nie angekommen ist: 17;

• relativer Anteil: ≈  10,4 ;

• richtige Antwort: .

(Es sei ausdrücklich nicht erwähnt, dass auch hier keinerlei Rechenkünste nötig sind.)

Insgesamt kann man zu den Aufgaben 21 - 23 nur sagen: was für ein gigantischer (und teilweise irreführender) Aufwand für so magere Ergebnisse!

(Obwohl ich ja durchaus weiß, dass die Schüler auch lernen müssen, knappe mathematische Informationen aus langen Texten zu destillieren.

Außerdem kann man sich ja

[wenn auch wohl nicht in einem PISA-Test]

fragen, was Andrea denn nun mit den drei doch ziemlich abgedrehten Lösungen eigentlich anfangen will, wie diese also ihre Kaufentscheidungen beeinflussen. Aber sowas wird ja im Standardunterricht kaum jemals gefragt.)

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Es sollte also überdeutlich geworden sein, dass die PISA-Aufgaben den Schülern KEINERLEI nennenswertes Rechnen abverlangen.

Rechnen wir zum Rechnen auch noch dem Umgang mit "Formeln" hinzu

(also z.B. Flächen- und Körperberechnungen, binomische Formeln, Term- und Gleichungsumformungen, Funktionsberechnungen [z.B. das Berechnen von Nullstellen]).

Erstaunlicherweise kommt keine einzige dieser Formeln in den o.g. PISA-Aufgaben vor. Erstaunlich ist das aber wohl vor allem aus deutscher Sicht, macht das Rechnen mit Formeln doch ca. 90 % des üblichen Mathematikunterrichts aus.

Wundert es einen da noch, dass die deutschen Schüler so grandios in PISA gescheitert (?) sind?: das liegt

• eben nicht an der immer schon dummen "Jugend von heute",
• sondern am deutschen Mathematikunterricht, der nicht die Bohne auf die PISA-Aufgaben vorbereitet

(wobei ich es hier [noch] offen lasse, ob der deutsche Mathematikunterricht nur anders, schlechter oder sogar besser ist als das, was in PISA-Tests verlangt wird).

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Dass "die" deutschen Schüler so grandios gescheitert sind, kann NICHT am Rechnen gelegen haben.

Woran aber hat es dann vermutlich gelegen? Bzw. was müssen die Schüler bei den PISA-Aufgaben denn können?

Vorweg nur scheinbar selbstverständliches Allgemeines:/p>

• so, wie man bei Textanalysen im Deutschunterricht doch erstmal den gesamten Text lesen sollte

(es sei denn, es geht um die Ersteindrücke und die später erfüllten oder enttäuschten Erwartungen),

sollten Schüler "eigentlich" immer vorweg alle Aufgaben einer Mathematik-Arbeit lesen oder zumindest grob anreißen, um

• nach der Gesamtlektüre mit denjenigen Aufgaben anzufangen, die sie am besten beherrschen, und so schonmal Punkte zu sammeln und Sicherheit zu gewinnen,

• die Struktur und "Dramaturgie" der Arbeit zu verstehen

(in welche Themenbereiche gliedert sich die Arbeit, worin ähneln / unterscheiden die Aufgaben sich, wie ergänzen und steigern sie sich ...?).

Leider meinen aber viele Schüler, durch eine anfängliche Gesamtlektüre unnötig Zeit zu verlieren, und stürzen sich deshalb sofort blindwütig oder in nackter Panik auf die erste, aber nicht unbedingt beste Aufgabe.

Um die Schüler zu einer anfänglichen Gesamtlektüre zu überzeugen, muss sie vor einer Klassenarbeit vielfach geübt und müssen ihre Vorteile aufgezeigt werden.

(Ich habe sogar mal [vermutlich lehrplanwidrig] Klassenarbeiten schreiben lassen, in denen

• es nur um die Struktur dieser Arbeiten ging

• und gesagt werden musste, was in den einzelnen Aufgaben zu tun wäre, ohne das es dann wirklich getan [z.B. gerechnet] wurde.)

• genaues Herausarbeiten der Aufgabendetails

(u.a. durch Vergleich mit benachbarten Aufgaben).

Auch das muss vorweg und immer wieder geübt werden, und sei's, indem man zeigt, wie Schulbuchautoren und Lehrer  die Mathematik manchmal fast schon sadistisch in fast beliebige "Anwendungs"-Zusammenhänge verpacken und dort verstecken, auf dass die Schüler sie da später mühsam wieder rausklamüsern.

Schauen wir uns aber nochmals die oben vorgeführten Lösungswege an:

• Frage 1 - 3: :

•  

• Frage 4 - 7: :

•  

• Frage 8 - 15: :

•  

• Frage 16 - 20: :

•  

• Frage 21 - 23: :

• 
  

 

 

 

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PS:	(Quelle: )