kleiner Nachschlag: die Nicht-"Kommensurabilität"

 

Kom|men|su|ra|bi|li|tät [lat.-nlat.] die; -: Meßbarkeit mit gleichem Maß; Vergleichbarkeit (Math., Phys.); Ggs. Inkommensurabilität
(Duden)

"Es fehlt an Vertrauen zwischen uns und den Frauen,
 dort gibt es einen Bruch, aber keinen Hauptnenner."
(Fettes Brot in "Männer")

Manchmal (z.B. schon bei Euklid) wird das Problem der Irrationalität von Bild auch noch anders formuliert.

Kommen wir dazu nochmals auf den Tisch mit der Seitenlänge 1 LE zurück:

Bild

In  Bild hatten wir gezeigt, dass die simple Diagonale d dieses besonders einfachen Tischs

(Quadrat, einfachste mögliche Seitenlänge)

Bild lang ist, und im folgenden Beweis war klar geworden, dass diese Länge Bild irrational, also äußerst kompliziert ist.

Die Frage nach der "Kommensurabilität" bedeutet nun:

Gibt es eine Längeneinheit e , so dass

  • sowohl die Seitenlänge 1

  • als auch die Diagonalenlänge Bild

als (ganzzahlige!) Vielfache dieser Längeneinheit e dargestellt werden können?

Gibt es also ganze Zahlen m und n, so dass

  •  1  = m · e

  • Bild = n · e

Das ist mit den drei Unbekannten e, m und n natürlich schon allerfeinstes Fachchinesisch, und deshalb sei das Problem vorweg an zwei einfachen Beispielen klar gemacht:

  1. Egon ist 180 cm und Erwin ist 182,4 cm groß. Gibt es eine Längeneinheit,  mit der man beide messen kann?

Ganz einfach ist solch eine Grundeinheit noch bei Egon zu finden, denn er ist offensichtlich 180 · 1 cm groß

Leider ist aber Erwins Größe nicht in (ganzen) Zentimetern ausdrückbar, sondern wir müssen bei ihm zur nächst kleineren Längeneinheit, also Millimetern, greifen - mit der sich dann allerdings auch Egons Größe ausdrücken lässt:

Wir haben als gemeinsame Längeneinheit für Egon und Erwin also 1 mm gefunden, bzw. in diesem Fall ist

(Nebenbei: natürlich gibt es auch kleinere gemeinsame Längeneinheiten für Egon und Erwin, nämlich z.B. 1/10 mm:

  1. Kiste 1 ist 3/4 m und Kiste 2 ist 2/3 m hoch. Gibt es eine Längeneinheit,  mit der man beide messen kann?

Für beide Kisten lässt sich nun sehr einfach jeweils ein Grundmaß finden:

Bei dieser Kiste 1 ginge das auch ganz einfach in Zentimetern:

3/4 m = 0,75 m = 1 · 0,75 m oder 3/4 m = 0,75 m = 75 · 0,01 m  = 75 · 1 mm.

Allerdings ergeben sich Probleme, wenn man die Höhe von Kiste 2 im Dezimalsystem ausdrücken möchte:

2/3 m = 0,6 m = 0,6666666666666... m

Da hier in der Dezimalschreibweise unendlich viele Sechsen hinter dem Komma folgen, gibt es keine noch so kleine Einheit (z.B. 0,66), als deren Vielfaches wir 0,6 m = 0,6666666666666... m darstellen können: weder Meter noch Zentimeter noch Millimeter ... reichen.

Bislang ist es uns also gelungen, sowohl 3/4  als auch  2/3 jeweils als Vielfaches einer Grundeinheit darzustellen, nämlich z.B.

aber offensichtlich haben wir mit 1/4  m und 1/3  m verschiedene Grundeinheiten erhalten.

Wenn man sich nun aber mit Brüchen auskennt, weiß man, dass es eine gemeinsame Untereinheit von 1/4 und 1/3 , nämlich 1/12 gibt. Durch Erweitern erhalten wir

Wir haben als gemeinsame Längeneinheit für Kiste 1 und Kiste 2 also 1/12 m finden können, bzw. in diesem Fall ist

Kommen wir damit auf unseren quadratischen Tisch

Bild

mit der Seitenlänge 1 und der Diagonalenlänge d = Bild zurück, um dort nach einer gemeinsamen Grundeinheit zu suchen:

1 = 1 · 1 oder 1 = 10 · 0,1 oder 1 = 100 · 0,01 oder 1 = 1000 · 0,001 .

Bild = 1 · Bild  oder Bild = 2 · Bild /2 oder Bild = 3 · Bild /3 ...,

wobei Bild  oder Bild/2 oder Bild/3 ... alles irrationale Grundeinheiten sind.

Nun ist aber die Seitenlänge 1 nicht als Vielfaches irgendeiner irrationalen Grundeinheit schreibbar, denn 1 kann nur m-faches eines Bruchs 1/m sein, und somit gibt es keine gemeinsame Grundeinheit der Seitenlänge 1 und der Diagonalenlänge Bild .

Man sagt auch:

Die Seitenlänge 1 und die Diagonalenlänge Bild sind "inkommensurabel".

Oder anschaulicher gesagt: die beiden werden nie "auf einen Nenner" kommen.

Obwohl sie geometrisch so eng zusammen hängen, passen sie rechnerisch zusammen wie der Teufel und das Weihwasser.


Bild

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