der schönste Beweis aller Zeiten

d) wie genau will man´s wissen?

An die merkwürdige Quadratdiagonale der Länge kann man nun auf verschiedenste Arten drangehen:

• man kann natürlich ganz einfach sagen, dass einen die Länge dieser Quadratdiagonale überhaupt nicht interessiert; wann - zum Teufel - muss man im realen Leben sowas wissen!? Und wenn man´s mal wissen muss, misst man halt nach:

• man kann die Quadratdiagonale ausmessen, dann feststellen, dass sie etwa 1,41 LE lang ist 

• und sich damit begnügen: im realen Leben reicht das oft auch: wenn die Längeneinheit ein Meter ist, ist 1,41 auf einen Zentimeter genau, und noch genauer will man oft auch gar nicht messen;

• eventuell stellt man sich dann aber doch die Frage, ob 1,41 vielleicht schon der exakte Wert ist, ob also = 1,41 ist.

Nun wissen wir aber bereits, dass

·= 2

sein muss.

Weil aber

1,41 · 1,41 = 1,9881

ist, kann nicht exakt gleich 1,41 sein.

Auch hier sind wieder zwei Reaktionen möglich:

• entweder denkt man sich:

1,41 · 1,41 = 1,9881

ist aber schon sehr nah an 2 dran (die Abweichung ist nur noch etwa zwei Hundertstel), und noch genauer will ich´s ja gar nicht wissen;

• oder man hat "Blut geleckt" und will´s nun doch genauer wissen:

man misst also nochmals, und zwar z.B. mit einer Schieblehre, mit der man auch zehntel Millimeter messen kann. Dann erhält man für die Länge der Quadratdiagonale 1,414 LE (also zusätzlich 4 Zehntelmillimeter).

Wieder ergibt sich die Frage: ist jetzt endlich 1,414 der exakte Wert für ? Die Berechnung ergibt

1,414 · 1,414 = 1,999396

Das ist zwar schon erstaunlich nah an 2 dran (die Abweichung ist nur noch etwa 7 Zehntausendstel!) - aber immer noch nicht ganz genau.

• Wieder sind verschiedene Reaktionen möglich:

• man versucht (wenn man nicht längst aufgegeben hat), nochmals genauer zu messen; dabei ergibt sich allerdings schnell die Schwierigkeit

1. , dass mit dem üblichen Handwerkszeug schon das Ausgangsquadrat kaum absolut exakt (mit der Seitenlänge von genau 1) herstellbar ist: vielleicht erhalten wir also schon deshalb von Anfang an - und ohne es überhaupt zu bemerken - ungenaue Messergebnisse für die Diagonale;

2. , dass uns über die Schieblehre hinaus kein Gerät zur Verfügung steht, mit dem man noch genauer (hunderstel Millimeter) messen kann;

• man gibt das Messen einfach auf, weil man inzwischen ahnt, dass man  nur immer mehr Nachkommastellen bekommen wird, die zwar immer näher am gesuchten Wert für dran liegen, ihn aber immer noch nicht exakt erreichen;

• man ist also einfach entweder zu faul, oder es ist einem zu blöde, noch weiter zu messen (auf die Gefahr hin, nie oder erst nach langer Zeit den exakten Wert zu treffen): nur Idioten messen und rechnen bis zum Sankt-Nimmerleins-Tag;

(denn auch zum Rechnen kann man ja zu faul sein. Angenommen mal, wir könnten ausmessen, dass die Quadratdiagonale 1,4142 LE lang ist. Um zu überprüfen, ob das nun endlich der exakte Wert für ist, müssten wir 

1,4142 · 1,4142

ausrechnen. Schriftlich ist das bereits eine ziemlich teuflische Rechnung, und mit einem billigen Taschenrechner ergibt sich 

1,4142 · 1,4142 = 1,9999616

Damit haben wir erstens noch immer nicht exakt 2 getroffen, und zweitens können wir uns nicht mal sicher sein, ob dieses Taschenrechnerergebnis 1,9999616 denn tatsächlich stimmt

[nach der Endstellenregel kann das Ergebnis gar nicht stimmen, denn 2 · 2 = 4 und nicht 6].

Denn schließlich können Rechner [auch die besten Computer der Welt] nur mit einer begrenzten Anzahl von Stellen rechnen - und runden danach. Vielleicht hat das exakte Ergebnis von 1,4142 · 1,4142 also noch mehr Nachkommastellen, ist also z.B. 1,99996164. Vielleicht hat der Taschenrechner sogar so dreist gerundet, dass in Wirklichkeit doch 1,4142 · 1,4142 exakt gleich 2 ist?

[nach der Endstellenregel kann das allerdings wiederum nicht stimmen]

Wir haben also gar keine Chance mehr, überhaupt noch zu bemerken, ob eine Rechnung stimmt.

Weiter angenommen, wir könnten sogar noch genauer messen und erhielten als Länge der Diagonale 1,4142135623731 LE, also ein auf 13 Stellen hinter dem Komma genaues Ergebnis. Das können wir nicht mal mehr in einen üblichen Taschenrechner eingeben und somit auch nicht überprüfen, ob

1,4142135623731 · 1,4142135623731

exakt 2 ist bzw. wie nah es an 2 dran liegt.)

• man überlegt sich, ob man nicht anders an den exakten Wert kommen kann;

• mal angenommen, wir könnten

  • ein ungeheuer exaktes Quadrat mit der Seitenlänge 1 LE herstellen und

  • seine Diagonale mittelst modernster Laservermessung z.B. auf 789 Stellen hinter dem Komma genau ausmessen, würden also erhalten 

  1,  414 213 562 373 095 048 801 688 724 209 698 078 569 671 875 376 948 073 176 679 737 990 732 478 462 107 038 850 387 534 327 641 572 735 013 846 230 912 297 024 924 836 055 850 737 212 644 121 497 099 935 831 413 222 665 927 505 592 755 799 950 501 152 782 060 571 470 109 559 971 605 970 274 534 596 862 014 728 517 418 640 889 198 609 552 329 230 484 308 714 321 450 839 762 603 627 995 251 407 989 687 253 396 546 331 808 829 640 620 615 258 352 395 054 745 750 287 759 961 729 835 575 220 337 531 857 011 354 374 603 408 498 847 160 386 899 970 699 004 815 030 544 027 790 316 454 247 823 068 492 936 918 621 580 578 463 111 596 668 713 013 015 618 568 987 237 235 288 509 264 861 249 497 715 421 833 420 428 568 606 014 682 472 077 143 585 487 415 565 706 967 765 372 022 648 544 701 585 880 162 075 847 492 265 722 600 208 558 446 652 145 839 889 394 437 092 659 180 031 138 824 646 815 708 263 010 059 485 870 400 318 648 034 219 489 727 829 064 104 507 263 688 131 373 985 525 611 732 204 024 509 122 770 022 694 112 757 362 728 049 573 810 896 LE

Da stellt sich schon die Frage: wie ist jemand überhaupt auf diese 789 Nachkommastellen gekommen? Denn es gibt keine Geräte, die derart genau messen können, ja, es gibt nicht mal Dinge [Atome und deren Bestandteile], die derart klein sind. Hier sind also die Grenzen der physikalischen Wirklichkeit bereits überschritten, unser Beispiel eines quadratischen Tischs hat ausgedient und wir befinden uns längst in der puren Mathematik.

Des weiteren nehmen wir mal an, irgendein Angeber behauptet dreist, das sei nun tatsächlich endlich der exakte Wert für   (und deshalb brauche er auch keine 790ste Nachkommastelle mehr).

EinE "richtigeR" MathematikerIn erschauert nun keineswegs vor solch einer imposanten Zahl, sondern schießt dann ebenso frech zurück: "du kannst nicht einfach dreist etwas behaupten, sondern ich glaube dir gar nix, bevor du es mir nicht beweist!"

Was müsste unser Angeber also tun? Er müsste zeigen, dass die ellenlange Zahl mal sich selbst exakt 2 ergibt. Schriftlich hat er da keine Chance: er würde Jahrzehnte lang rechnen (und garantiert würden ihm Rechenfehler unterlaufen, die - selbst wenn er recht hätte - immer dazu führen würden, dass nicht exakt 2 herauskäme). Inzwischen gibt es allerdings durchaus Groß-Computer, die solche gigantischen Rechnungen relativ schnell durchführen können. 

D.h. irgendwann ergibt sich eventuell ein Beweiswunsch bzw. eine Beweisnotwendigkeit.

Umgekehrt wäre es ein Gebot der Fairness, den Angeber zu widerlegen (was ja auch ein Beweis [dass etwas nicht stimmt] wäre):

	Man muss kein Großcomputer sein, um dem Angeber zu zeigen, dass er falsch liegt. Angenommen, die hätte in Dezimaldarstellung eine zwei zehn Nachkommastellen. Wie viele hat dann ihr Quadrat? Was folgt daraus für die Möglichkeit, dass die Dezimaldarstellung für hinter dem Komma endlich  ist?
	Es kann keine endliche Dezimalzahl geben, für die gilt a = (einzige Ausnahme: a ist eine ganze Zahl; aber wir wissen ja bereits, dass das nicht der Fall ist und sein kann)
	Welche Zahlen bleiben dann für überhaupt noch übrig?
	Für scheinen nur periodische Dezimalzahlen übrig zu bleiben.
	Angenommen mal, ist eine periodische Dezimalzahl x. Wie könnte man beweisen, dass tatsächlich x =  ist?
	Man müsste zeigen, dass x · x = 2 ist.
	Multipliziere probeweise zwei beliebige periodische Dezimalzahlen miteinander! (Vorsicht, der Taschenrechner hilft hier leider gar nicht, weil er nur mit endlich vielen Stellen rechnen kann.)
	Es ist grundsätzlich unmöglich, zwei periodische Dezimalzahlen direkt miteinander zu multiplizieren; da hilft nur der Umweg über Brüche!
	Nochmals: deutet sich in den 789 richtigen Stellen oben immerhin eine Periode an? kann das richtige Ergebnis überhaupt periodisch sein? falls es das nicht sein kann: was ist es, wenn es weder endlich noch periodisch ist?

HIER NUN ENDLICH kommt

Pythagoras
(um 570 bis circa 500 v. Chr.)

ins Spiel:

er steht wie kein anderer am Anfang aller griechischen Philosophie und damit vieler Denkweisen, die wir im Abendland bis heute beibehalten haben.

Neben der Entdeckung des berühmten "Satz des Pythagoras" (den wir später durchnehmen werden, wenn wir die Wurzeln besser kennen) lag seine bedeutendste Idee wohl darin zu behaupten, dass die gesamte Welt mathematisch konstruiert und Gott ein Mathematiker sei.

Dabei muss man sich zweierlei klar machen:

1. , dass diese Behauptung keineswegs selbstverständlich ist: viele Menschen bis ins Mittelalter hätten solch eine Idee für kompletten Schwachsinn und eine Herabwertung Gottes gehalten;

2. , wie außerordentlich früh Pythagoras diese Idee hatte und wie wichtig sie sehr viel  später geworden ist, als Genies wie

Galileo Galilei (1564-1642)

Johannes Kepler (1571-1630)

Isaac Newton (1642-1727)

feststellen konnten, dass die physikalische Welt inklusive der Himmelsmechanik tatsächlich mit mathematischen Formeln beschreibbar ist. Nur durch diese Idee ist überhaupt erst fortgeschrittene Technik möglich geworden, die doch unser heutiges Leben weitgehend durchzieht und beherrscht.

Der Philosoph und Mathematiker Betrand Russel (1872-1970) hat deswegen sogar mal die (vielleicht übertriebene) Behauptung aufgestellt, letztlich sei Pythagoras bis heute wichtiger und wirkungsvoller als Jesus.

Aber wie ist Pythagoras eigentlich drauf gekommen?

Da gibt es zwei voneinander abweichende Anekdoten, die aber letztlich dasselbe besagen:

• Pythagoras habe bei einem Schmied die Aufschläge verschiedener Hämmer auf einem Amboss gehört, und dabei sei ihm aufgefallen, dass ein bestimmter Hammer im Vergleich mit den anderen "schräg" klang. Als Pythagoras die Hämmer genauer untersuchte, stellte er fest, dass die Gewichte aller wohlklingenden Hämmer in einem ganzzahligen Verhältnis zueinander standen, das des "schräg" klingenden allerdings nicht:

• Pythagoras sei beim Spiel auf einem damals üblichen Saiteninstrument, einem einsaitigen sogenannten Monochord (= Ein-Saiter)

(Monochord mit Zollstock zum Messen der Tonintervalle)

aufgefallen, dass die harmonisch klingenden Töne der Tonleiter in Brüchen aus ganzen Zahlen auf der Saite verteilt sind:

Eine frei schwingende, offene Saite (1) erzeugt einen Grundton. Wird sie an einem Punkt auf genau halber Länge festgehalten (2), erklingt ein Ton, der um genau eine Oktave höher ist als der Grundton und mit ihm harmoniert. Fixiert man die Saite an anderen Punkten, die einfache Bruchteile ihrer Gesamtlänge markieren (z.B. ein Drittel [3], ein Viertel [4], ein Fünftel [5]), können weitere harmonische Töne (kleine Terz, große Terz, Quart, Quint ...) erzeugt werden.

Was Pythagoras nicht wissen konnte, ist, dass man Instrumente auch anders (und doch wohlklingend) stimmen kann, als es damals üblich war. Seine damalige Stimmung nennt man auch heute noch "pythagoreisch" oder "rational", während wir heute eine andere Stimmung haben, die man auch "irrational" nennt.

Wie auch immer: aus der sicherlich erstaunlichen Parallele von

• Wohlklang einerseits und

• ganzzahligen mathematischen Verhältnissen andererseits

soll Pythagoras geschlossen haben, dass Gott die Welt nur mit

• ganzen Zahlen und

• Brüchen aus ganzen Zahlen

aufgebaut habe.

Daraus hat er gefolgert

"Alles ist Zahl!"

Galilei hat das später so formuliert: "Das Buch der Natur ist in mathematischen Lettern [Buchstaben] geschrieben."

Vor allem aber glaubte Pythagoras an die absolute Harmonie des (mathematischen) Universums und meinte sie auch in den Sphärenklängen, d.h. der wunderschönen Musik der Sterne

  ,

zu erkennen.

Auf seinen Zahlenglauben hat Pythagoras eine ganze Religion mit einer Art Priesterschaft aufgebaut, die später sogar einige Zeit lang genauso wichtig wie das Christentum war und von der viele Elemente auch tatsächlich ins Christentum übernommen wurden

• z.B. soll Pythagoras behauptet haben, ein Sonderwesen zwischen Mensch und Gott gewesen zu sein;

• seine Schüler meinten, er stamme von einem Gott [Apollo] ab;

• er soll von sich selbst gesagt haben:

,,Als ein unsterblicher Gott reise ich umher, nicht mehr sterblich, bei allen, wie es sich in meinem Fall gehört, mit Ehren ausgezeichnet, mit Binden umflochten und mit blühenden Kränzen. [...]  Weissagungen verlangen die einen von mir, die anderen erbitten Auskunft bei Krankheiten aller Art, um ein heilbringendes Wort zu erfahren [...]."

• als einer der ersten vertrat er die Idee von der Unsterblichkeit der Seele;

• schon ihm wurden Wundertaten wie die Besänftigung des Meeres oder Krankenheilungen.

Die Religion des Pythagoras geht also weit über die Zahlenlehre hinaus, und ihm wird auch nachgesagt, dass er tatsächlich ganz neue Heilverfahren gefunden hat.

Die Ideen des Pythagoras leben auch heute noch in vielfacher Weise sogar in ganz unmathematischen Gebieten weiter, nämlich z.B. im "Markenzeichen" der Pythagoreer, dem sogenannten "Pentagramm" (Fünfstern) und "Drudenfuss"

,

die zur Abwehr von bösem Zauber dienen sollen und z.B. auch im Computerspiel "Myth" auftauchen:

Das alles ist also keineswegs Schnee von gestern, sondern es gibt auch heute noch Menschen (Spinner?), die an sowas glauben und sich dabei teilweise sogar auf Pythagoras berufen. Vgl.

• "Alle Planetentöne"

• das "Pythagoras-Institut"

Es kann hier nicht genauer gezeigt werden, dass Pythagoras noch viele andere wichtige mathematischen Erkenntnisse hervorgebracht hat und nach Tales überhaupt als der erste "richtige" Mathematiker gilt.

Allerdings sei noch erwähnt, dass mit Pythagoras auch eine fatale mathematische Rechthaberei in die Welt gekommen ist. Er soll behauptet haben, die reine Wahrheit sei nur ihm allein zugänglich, und jede seiner Vorlesungen mit dem Satz begonnen haben: "Bei der Luft, die ich atme, beim Wasser, das ich trinke: ich dulde keinen Widerspruch".

Schon Heraklit (550-480 v. Chr.), ein Zeitgenosse des Pythagoras, hat diesen als "den Anführer der Schwindler" bezeichnet.

Insgesamt muss man wohl mit Peter Paptist sagen:

"Pythagoras erwies sich als eine schillernde Persönlichkeit: Philosoph, Heiliger, Tyrann, Prophet, Mathematiker, Scharlatan."

Man mache sich klar: so zu denken, war keineswegs dumm, sondern nach damaligem Wissensstand einfach naheliegend.

Damit aber sind wir nun ENDLICH beim Nachweis, was die eigentlich ist.