eine Mathematik-"Textaufgabe"

unvermeidlich langes Vorwort
pädagogische Vorüberlegungen zu einer konkreten Aufgabe
Herangehensweisen an die Aufgabe

unvermeidlich langes Vorwort

Textaufgaben werden ja nicht dadurch schlechter, dass man sich vorweg klar macht:

Textaufgaben sind fast ausnahmslos keine Anwendungsaufgaben:

sind sie es meist schon per definitionem nicht: sie sind eben Texte, also Druckerschwärze auf Papier und somit schon ausgefilterte bzw. simulierte Wirklichkeit
(einzige Ausnahme sind Textaufgaben, deren Basismaterial schon schriftlich war, also z.B. Auswertungen fertiger Statistiken);
sind die meisten Textaufgaben schon auf die Mathematisierung hin ausgefiltert:

es ist in der Regel schon alles wegabstrahiert, was Schwierigkeiten bei der Mathematisierung machen könnte
(s.u. "zylinderförmiges Gefäß");

ebenso ist meist ganz klar, in welchem mathematischen Zusammenhang sie auftauchen bzw. welche Mathematik da angewandt werden soll, nämlich durch die Bank gerade im Unterricht anstehende
(s.u. "Bestimme die Exponentialfunktion").

Dennoch haben Textaufgaben durchaus auch ihre Vorteile:

sie sind im Vergleich mit echten Anwendungsaufgaben praktisch und zeitökonomisch;
sie simulieren immerhin Anwendungsaufgaben
und müssen ja nicht automatisch so eng gestrickt sein, dass alles bereits vormathematisiert ist;
mit Textaufgaben reiht sich die Mathematik endlich in all jene Fächer ein, in denen angesagt ist.

Textaufgaben (und wie sehr dann erst eigentliche Anwendungsaufgaben) sind der Albtraum der meisten SchülerInnen - was unten eigentliches Thema sein wird.

Als typisches Beispiel sei eine Aufgabe aus dem

Lambacher Schweizer 10; Mathematisches Unterrichtswerk für das Gymnasium; Ausgabe Nordrhein-Westfalen; Ernst Klett Verlag
(darin: S. 70, Aufgabe 11)

gewählt.

"Typisch" daran ist, dass die neue innermathematische Erkenntnis

"Der Graph der [Exponential-]Funktion x |→ b●a^x geht durch die Punkte (0|b) und (1|ab)"

nun anhand mehrerer "Anwendungsaufgaben" als kennzeichnend für viele "natürliche" Prozesse aufgewiesen (Überzeugung) und gefestigt (Übung) werden soll.

Dabei - und das ist durchaus bemerkenswert - wird (wie nach dem Kapiteltitel "Bestimmung von Exponentialfunktionen" zu erwarten) immer schon vorausgesetzt bzw. sogar in den Aufgaben explizit erwähnt, dass Exponentialfunktionen vorliegen.

(Zu Beginn des Gesamtkapitels "IV Exponentialfunktionen; 1. Wachstumsvorgänge" war an einem einzigen Anwendungsbeispiel und auf einer einzigen Seite die Exponentialfunktion hergeleitet worden.

Wobei natürlich zu ergänzen bleibt: Schulbücher sind wohl kaum so gedacht, dass sie im Unterricht wortwörtlich nach-gelesen werden, sondern wohl eher

als Vorschlag für die Lehrkraft, einen von oftmals mehreren möglichen Wegen zu gehen,

als knappe Wiederholungs- und Nach(!)schlagemöglichkeit für SchülerInnen,

und vor allem aber wohl als Formel- und Aufgabensammlungen.)

Gerade die Frage, ob überhaupt eine (Exponential-?)Funktion vorliegt und weshalb, bleibt also ausgespart bzw. ist immer schon beantwortet.

(Zum Versuch, dieses Thema offener anzugehen, siehe "eine echte Anwendungsaufgabe?")

Als "Anwendungsbereiche" sind im Lambacher-Schweizer gewählt

abnehmende Helligkeit bei zunehmender Wassertiefe,
Wachstum von Wassermelonen,
Halbwertszeit des radioaktiven Elements Strontium,
Wachstum von Milchsäurebakterien,
im hier ausgewählten Aufgabenbeispiel der Zerfall von Bierschaum,
Erwärmung von Apfelsaft,
gedämpfte Schwingung eines Pendels,
Abnahme der Wochenarbeitszeit in den letzten 150 Jahren,

insgesamt also mehr oder weniger typische Wachstums- und Zerfallprozesse.

Es sei noch erwähnt, dass das Buch einige "Anwendungsaufgaben" vorrechnet, worauf hier aber nicht näher eingegangen wird, weil es Ziel sein soll, dass SchülerInnen möglichst selbstständig mit einer ersten Textaufgabe umzugehen lernen.

pädagogische Vorüberlegungen zu einer konkreten Aufgabe

Damit aber zur hier ausgewählten Aufgabe:

"In einem zylindrischen Gefäß wird der Zerfall von Bierschaum untersucht. Die Höhe der Schaumsäule verringert sich alle 15 Sekunden um 9 %.

Um wie viel Prozent verringert sich die Höhe der Schaumsäule in 1 Minute?
Zu Beginn der Beobachtung beträgt die Schaumhöhe 10 cm. Bestimme die Exponentialfunktion Zeit (in min) → Schaumhöhe (in cm). Zeichne den Graphen.
Man spricht von "sehr guter Bierschaumhaltbarkeit", wenn die Halbwertszeit des Schaumzerfalls größer als 110 Sekunden ist. Überprüfe am Graphen, ob sehr gute Bierschaumhaltbarkeit vorliegt."

Selbstverständlich könnte man das Thema auch ganz anders, nämlich als offenes Projekt aufziehen, d.h. SchülerInnen selbst die Schaumhöhe von echtem Bier (und Biersorten) untersuchen und mathematisieren lassen. Ansätze dazu gibt es ja durchaus:

ein Projekt "Haltbarkeit des Bierschaums", mit dem eine 9. Klasse der Realschule Wolfach 1997 immerhin den dritten Preis in

"Wettbewerb und Ideenbörse für den Unterricht in Chemie, Biologie, Physik, Technik, Natur und Technik oder Mensch und Umwelt an Realschulen in Baden-Württemberg"

gewonnen hat;

denkbar ist auch ein anspruchsvoller mathematisches Projekt in der Oberstufe. Vgl. etwa "Differentialgleichungen bei Wachstums- und Zerfallsprozessen" am Beispiel des Bierschaumzerfalls;
es zeigt sich zudem, dass hinter dem Thema durchaus interessante wissenschaftliche Hintergründe stecken:
- "Wissenschaftler der Harvard-Universität in Boston haben sich näher mit dem Bierschaum befasst. Der Bierschaum ist ein Gemisch aus Gas(Kohlensäure)-Bläschen und Flüssigkeit. In den kleinsten Bläschen herrscht der höchste Gasdruck. Daher platzen sie zuerst. Ein Teil des frei werdenden Gases dringt in benachbarte Bläschen ein, wodurch deren Gasdruck wiederum ansteigt. Sie werden größer und platzen schließlich auch. So kommt eine Kettenreaktion in Gang, wobei die Schaummenge stetig abnimmt, da die Flüssigkeit zwischen den wachsenden Blasen immer besser abfließen kann."
  (zitiert nach )
  Hier deutet sich immerhin an, dass man die Art des Bierschaumzerfalls nicht nur beobachten, sondern auch (wenn auch auf sehr anspruchsvolle Weise) erklären kann. Dazu würde wohl auch gehören, dass anscheinend das Eiweiß für den Bierschaum sorgt.
  Weitere Informationen bieten u.a. , sowie vor allem , woran deutlich wird, dass die genauen Prozesse ("Oberflächenspannung", vgl. etwa ) ebenso interessant wie komplex sind (siehe auch : eine Arbeit, für die der Autor Arnd Leike den Jux-"Ig-Nobelpreis" erhalten hat, der für Errungenschaften verliehen wird, die „nicht reproduziert werden können oder nicht reproduziert werden sollten“).
  So exotisch es klingen mag: es gab sogar mal eine internationale Konferenz zum Thema "Poren in Lebensmitteln" und eben u.a. auch Bierschaum (vgl. Campbell, G.M., C. Webb, S.S. Pandiella und K. Niranjan [Hrsg.]: Bubbles in Food.- St. Paul/MN: eagan press [999] 348 S.)
- Beeinflussung der "Bierschaumhaltbarkeit" durch genetische Veränderungen; vgl. etwa .

Zu fragen wäre aber doch wohl vor allem, warum ausgerechnet Bierschaum Aufgaben- bzw. sogar Projektthema sein soll? Ist das nicht ebenso wie in o.g. Aufgaben zu Wassermelonen und Apfelsaft "eingekleidete" Mathematik bzw. "Anwendung auf Teufel komm raus, um nur ja die Alltagsrelevanz von Mathematik zu beweisen"

(ein Rechtfertigungszwang, obwohl doch niemals jemand diese Alltagsrelevanz in Frage gestellt hat)?

Immerhin wirkt ja spätestens das typisch deutsche Wortmonstrum "Bierschaumhaltbarkeit" (und dann noch als Maßeinheit) sehr gesucht bzw. fiktiv, also so, als hätten MathematikerlehrerInnen es nur erfunden, um eine bestimmte Aufgabenart stellen zu können. Im Internet ist es zumindest nicht aufzufinden. Und noch sehr viel fiktiver wirkt - wie wir unten sehen werden -, dass eine Halbwertszeit von ausgerechnet 110 Sekunden gefordert wird

(wo doch jeder der Einfachheit halber zwei Minuten, also 120 Sekunden fordern würde - wenn das bei Bier funktionieren würde).

Völlig fiktiv (hübsch aufs Dezimalsystem hingedrechselt) ist auch die Schaumhöhe von 10 cm in Aufgabenteil b: ein normales Bierglas wäre da eher leer als voll.

Als Motivation für die Aufgabe wird wohl implizit vorausgesetzt, dass die SchülerInnen bereits wissen, wie sehr Bierliebhaber auf eine schöne große "Blume" achten - und weshalb: weil sie als Zeichen dafür gilt (aber im Zeichen der Gentechnik nicht mehr lange gelten kann?), dass das Bier frisch gezapft wurde, also weder abgestanden ist noch aus etwaigen Resten zusammengeschüttet wurde.

Genau da aber liegt das Problem:

Wissen die (alle) SchülerInnen es wirklich, wobei "wissen" hier im besten Fall ja wohl nicht bloß rein kognitiv zu verstehen ist, sondern bedeutet, dass einem echten Bierliebhaber tatsächlich das Wasser im Munde zusammen läuft und er sich schon die Lippen leckt, wenn er ein schönes kaltes Bier mit großer Blume auch nur sieht (vgl. entsprechende Werbungen)?
Und wenn sie es nicht wissen, man es ihnen also kurz erklären muss: bleibt dann nicht alles doch nur kognitiv, also "eingekleidete" Mathematik?
(Hier sei mal ganz von dem Problem abgesehen, ob die "Behandlung" realen Biers in der Schule es - und damit Alkohol - nicht doch "salonfähig" macht - und wer das ganze schöne Bier, dass bei den Experimenten übrig bleibt, denn eigentlich trinken soll, da es doch allzu schade wäre, solch eine Gottesgabe wegzuschütten.
Mir scheint, solche eine Unterrichtseinheit - durchaus mit echtem Bier - kann bei verantwortlichem Umgang durchaus gegen die gesellschaftliche "Notwendigkeit" des Alkohols wirken, wenn - auch im Fach Mathematik! - offen über das Thema Alkohol [Nach- und Vorteile!] gesprochen wird.)

Im Folgenden sei aber nun bewusst das getan, was man (angeblich) eigentlich nicht machen sollte - und doch schon allein aus Zeitgründen, aber auch in Übungsphasen immer wieder tun muss: eine Behandlung der "nackten" Aufgabe ohne alle Hintergründe, echtes Bier oder gar Einbettung in ein Projekt.

Das ist nun mal (leider) der Alltag, und bei allen notwendigen methodischen Veränderungen ab und zu müssen SchülerInnen und LehrerInnen doch auch in ihm zurecht kommen.

Gerade diesen Alltag kann man aber auch als Herausforderung verstehen:

Wie können die SchülerInnen mit solch einer "nackten" Aufgabe zurecht kommen?
Wie kann das möglichst selbstständig geschehen
(statt es ihnen weitgehend vorzumachen und sie es dann - beispielsweise durch Umbenennung von Strontium in Bierschaum - nur noch auf sehr ähnliche Beispiele übertragen zu lassen)?
Wie können Hilfen und Anregungen aussehen?
Wie können SchülerInnen an der vorliegenden Aufgabe lernen, auch mit ähnlichen anderen Aufgaben umzugehen?

Als einzige Voraussetzung sei angenommen, dass die SchülerInnen nach einem theoretischen Vorspiel bereits Grundkenntnisse über Funktionen der Art f: x |→ a^x und g: x |→ b●a^x haben, also

wobei auch verbal festzuhalten ist:

Algebra	geometrische Darstellung
Basis a Wachstums- bzw. Zerfallsfaktor, um den y zunimmt, wenn der x-Wert (von beliebiger Stelle aus) um 1 erhöht wird; insbesondere auch f(1) = a für f: y = a^x	insbesondere auch P(1\| a)
Koeffizient b Streckungsfaktor der Funktion g(0) = b	y-Achsenabschnitt Q(0\|b)
g(1) = b ● a für g: y = b ● a^x	P'(1\|b ● a)

Vorausgesetzt sei also, dass es (wie leider üblich bzw. oftmals unumgänglich) "nur" noch darum geht, die vorweg erarbeiteten theoretischen Details in einer Textaufgabe wiederzuerkennen.

Fraglich ist sicherlich, ob man (wie im Bierbeispiel) mit Zerfalls- statt Wachstumsprozessen anfangen sollte (das genannte Buch geht da ja anders vor). Aber warum nicht auch mal als Einstieg der schwierigere Weg statt immer nur verlässlich die glasklaren Systematik?

Bei der Behandlung der vorliegenden (wie jeder) Textaufgabe scheint es ratsam, zwischen vier Arten von Information zu unterscheiden

(die später bei jeder Textaufgabe explizit herauszuarbeiten sind, was schon als Teilleistung gewertet wird):

überflüssige bzw. beliebig ersetzbare Informationen
Gemeint sind hier nicht mathematische Überbestimmungen (die von Schulbuchautoren kaum eingesetzt werden), sondern z.B. beliebig verwendete Namen und ebenso beliebige ganze Problemstellungen: statt Bierschaum könnte es genauso gut Radioaktivität sein.
Solche Beliebigkeit zeigt nicht nur, dass die Aufgaben oft "eingekleidete" Mathematik sind, sondern die Beliebigkeit ist - positiv gesehen - ja auch ein Erkenntnisziel: viele natürliche Zerfallsprozesse lassen sich auf ganz ähnliche mathematische Weise "erschlagen", wie es ja überhaupt das ebenso Erstaunliche wie Praktische an Mathematik ist, dass sie oftmals "viele [Anwendungs-]Fliegen mit einer Klappe" erschlagen kann.
Es kann sogar nicht schaden, mit den SchülerInnen offen über eine gewisse "Hinterhältigkeit" von Mathematikaufgaben zu sprechen: "wenn da Libidoribonukleinpolyester und Pyrotransdiphosphat gemischt werden sollen, so doch nur, damit SchülerInnen erst mal irritiert sind; dann ersetze man die beiden Zutaten einfach durch Kaffee und Milch, und schon ist alles ganz einfach".
pseudomathematische Informationen
Auch sie dienen manchmal der puren Irritation.
im eigentlichen Sinne mathematische Informationen

Zahlen,

sprachlich umschriebene Mathematik
z.B. "wiegt genauso viel wie", also symbolisch =

"verdreifacht", also symbolisch 3 ●

Dabei mache man sich schon mal klar, dass solche Übersetzung in Mathematik für SchülerInnen keineswegs einfach ist:

a ist um 3 cm größer als b

verführt aufgrund der Sprachstruktur allzu leicht zum falschen

a + 3 = b

Signalwörter
(im Falle der vorliegenden Aufgabe z.B. "verringert", d.h. in x |→ b●a^x ist ein a gesucht, für das 0 < a < 1 gilt, und die Exponentialfunktion ist fallend).

Zu 1.

, also (angeblich oder wirklich) überflüssigen bzw. beliebig ersetzbaren Informationen, wäre beim konkret vorliegenden Beispiel zu fragen, ob das ganze "Bierproblem" nicht beliebig und aufgesetzt ist.

Gefragt ist hier nicht nach der oben problematisierten Lebensnähe des "Bierproblems", sondern danach, ob das Bierbeispiel besonders instruktiv ist (vgl. "Anschauung statt Anwendung"). Das aber scheint mir - insbesondere im Vergleich mit den anderen im genannten Schulbuch angebotenen Aufgaben - durchaus der Fall zu sein, weil ein Glas mit Bier und "Blume" sehr anschaulich ist

(jedeR hat sowas mal gesehen, und es lässt sich ohne großen Aufwand in einer Planskizze veranschaulichen).

Positivkriterium für das Bierbeispiel ist also weniger Anwendbarkeitung als Anschaulichkeit.

Zu 2.

Beim konkret vorliegenden Beispiel erscheint es fraglich, ob "zylindrisches Gefäß" eine solch pseudomathematische und daher irreleitende oder aber eine notwendige Information ist.

Ausgeschlossen werden sollen hier zweifelsohne Probleme, die sich mit konischen oder sogar noch komplizierter sich verbreiternden Gläsern (dem Bier- und Bierschaumstand in ihnen) ergeben können und in die Integralrechnung führen würden.

Aber hätte da nicht "Kölsch-Glas" mit einem Frontalfoto gereicht?

(Frontalfoto, weil damit gleich die Beschäftigung mit der zweidimensionalen Projektion suggeriert und der Irrweg über die Dreidimensionalität vermieden wird.)

Denn das Wort "zylindrisch" legt ja doch - und zwar fälschlich - eine Beschäftigung mit dem dreidimensionalen mathematischen Körper des Zylinders und somit mit π nahe.

(Nun kann man allerdings einwenden, so weit würden SchülerInnen eh nicht denken, zumal sie in der Sachlogik des Lambacher-Schweizers π und die Zylinderberechnungen noch gar nicht kennen. Man muss sich das Problem allerdings bewusst machen, wenn man mal von der Reihenfolge des Schulbuchs abweicht und Kreisprobleme vor den Exponentialfunktionen durchnimmt - oder man verlässt sich

[wie so oft - und damit letztlich den eigenen Unterricht ad absurdum führend]

darauf, dass SchülerInnen das längst wieder vergessen haben bzw. aufgrund langjährigen Vorunterrichts genau wissen: bei neuem [algebraischem] Stoff wird nie der alte [geometrische] gebraucht.

Um genau zu sein: Wenn die Aufgabe vorgibt, dass die Höhe des Bierschaums exponentiell abnimmt, ist es auch schon wieder egal, welche Form das Glas hat. Die Zylinderform, die das Buch vorgibt, scheint deshalb eher dazu zu dienen, einfache und normierte Planskizzen bei allen SchülerInnen zu ermöglichen.)

Es ließe sich allerdings streiten, ob man eine Aufgabe überhaupt so eng fassen sollte, statt dass die SchülerInnen (mit geeigneter Anleitung) selbst die Form des Glases problematisieren und der Einfachheit halber zu einem zylindrischen Gefäß abstrahieren.

Und ebenso ließe sich fragen, ob man den SchülerInnenN den Übergang vom Drei- zum Zweidimensionalen abnehmen oder (unter welcher Anleitung?) sie ihn selbst entdecken lassen sollte.

(Ich werde sowieso das Gefühl nicht los, dass die Zylinderform nicht etwa den SchülerInneN, sondern einer mathematischen Korrektheit zuliebe erwähnt wurde, dass also die Autoren des Buchs sich nicht von mathematischen Puristen Ungenauigkeit vorwerfen lassen wollten [denn terminologische Pfennigfuchser lauern in der Schulmathematik ja allüberall].

Und wieso eigentlich das völlig unübliche, veraltete und deshalb affektiert wirkende Wort "Gefäß" - oder "Schaumsäule"?)

Herangehensweisen an die Aufgabe

Erfahrungsgemäß (ich hab´s ausprobiert) machen schon die Anfangsinformationen (vor allen Rechnungen), also

"Die Höhe der Schaumsäule verringert sich alle 15 Sekunden um 9 %."

den SchülerInnen Schwierigkeiten.

	a ist um 3 cm größer als b
verführt aufgrund der Sprachstruktur allzu leicht zum falschen
	a + 3 = b