der schönste Beweis aller Zeiten

B) Vorgeschichte und Hintergründe des Beweises

c) eine merkwürdige Strecke

Angenommen, ein Tisch hat die einfachste Form und die einfachsten Maße, die überhaupt nur denkbar sind:

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Da liegt doch immerhin die Frage sehr nah, wie lang die wiederum denkbar einfachste Strecke in diesem Quadrat, nämlich die Diagonale d ist:

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Damit man sich nicht vertue:

Nun, auch dazu lässt sich natürlich ein "Anwendungsproblem" herbeimogeln: wenn ich nämlich eine runde Tischdecke kaufen will, die exakt auf den Tisch passt (seinen Umkreis bildet):

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Offensichtlich muss der Durchmesser der runden Decke genau gleich der Diagonalenlänge des Quadrats sein.

Aber ich mag keine Tischdecken, ich finde sie kitschig und naturbelassene Tische viel schöner! Außerdem würde einen jetzt jede gute Hausfrau darüber aufklären, dass man Tischdecken niemals genau passend kauft, sondern sie [z.B. gegen eventuelles Verrutschen] immer ein wenig überlappen lässt. Wogegen man immerhin einwenden könnte: um die Tischdecke überlappend zu kaufen, muss ich immerhin doch wissen, was passend wäre (der Durchmesser der überlappenden runden Decke muss größer oder gleich der Diagonalenlänge des Quadrats sein).

Immerhin ist die Diagonale oft

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("Apollo und Daphne" von Bernini)

bzw. soziale Rangfolgen zeigen:

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(Elizabeth Taylor & James Dean im Film "Giganten")

Damit aber zurück zur Frage, wie lang die Diagonale d in dem Quadrat ist:

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Es liegt doch wohl die Vermutung nahe:

 

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Stelle eine Vermutung auf, wie lang die Diagonale ist.

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Zeichne ein Quadrat der Seitenlänge 1 dm und miss seine Diagonale!

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Versuche, die Diagonalenlänge zu BERECHNEN!

Notiere dabei alles, was Dir über das Quadrat bekannt ist.

 

Bild Leider ist die Länge der scheinbar so einfachen Diagonale d nicht mit den uns zur Verfügung stehenden Mitteln berechenbar.

Deshalb soll im folgenden ein kleiner Umweg gegangen werden. Wir werden sehen, dass er dennoch halbwegs zum Ziel führt (allerdings einem sehr merkwürdigen).

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Dass MathematikerInnen diesen Umweg gegangen sind, ist wohl nur dadurch zu erklären, dass sie (wie so oft) vorerst auch nicht weiter gewusst und deshalb erstmal "rumgeknobelt" haben.

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  1. Konstruiere im Quadrat

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über der Diagonalen d ein weiteres Quadrat!

Hilfe

  1. Überlege, wie sich die Fläche dieses neuen Quadrats zur Fläche des alten Quadrats verhält!

Hilfe 

  1. Berechne aus der Fläche des neuen Quadrats die Länge seiner Seite d.

Hilfe

In

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und also auch in

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ist also

d = Bild LE

Hilfe zur Abkürzung "LE"

 

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